Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 86 стр.

ность точки a содержит все точки данной последовательности,
начиная с некоторой.
        Замечание. Если, например, метрики в пространствах
Сa; b , C1 a; b , С2 a; b различны, то говорят о разных видах
сходимости последовательностей функций.
        Теорема 21
        Сходимость по метрике пространства Ca; b равно-
сильна равномерной сходимости.
        Доказательство
        Пусть последовательность функций из пространства
Сa; b сходится в этом пространстве к функции f . Это значит,
что lim   f n , f   0 , где
      n

                         f n , f   max f n x   f x 
                                     a  x b
                                           .
    Но тогда для любого   0 найдётся такое N , что при
nN   для всех     x  a; b выполняется неравенство
 f n x   f x    . Это значит, что последовательность {fn} рав-
номерно сходится на a; b к f .
      Обратно, если последовательность {fn} функций, непре-
рывных на отрезке a; b , равномерно сходится на a; b к f ,
то, как известно, функция f тоже непрерывна на a; b , то есть
 f  Ca; b . При этом, в силу определения равномерной сходи-
мости, lim   f n , f   0 , то есть {fn} сходится к f по метрике
        n

Ca; b .
       Свойства сходящихся последовательностей
       1. Никакая последовательность точек метрического
пространства не может иметь более одного предела.
       Доказательство
       Предположим, что в некотором метрическом простран-
стве имеется последовательность { x n }, имеющая два предела:



                                         87