Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 88 стр.

a и b , a  b . Тогда lim  b, xn   lim  b, xn   0 . Кроме того,
                          n               n
в силу метрики
                       0   a, b    a, x n    b , x n  .
Переходя в этом числовом неравенстве к пределу, получаем:
 a, b  0 , что противоречит аксиоме тождества, поскольку
a b.
        2. Если последовательность точек метрического про-
странства имеет предел, то и любая её последовательность
имеет тот же предел.
        Д о к а з а т е л ь с т в о предлагаем осуществить чи-
тателю самостоятельно.
        3. Всякая сходящаяся последовательность точек {xn}
метрического пространства Е ограничена.
        Доказательство
        Пусть lim xn  a . Тогда найдётся такое N , что
                 n

 a, xn   1 при n  N . Обозначим через r наибольшее из чи-
сел 1,  a, x1 ,...,  a, x N  . Все точки рассматриваемой последо-
вательности принадлежат замкнутому шару радиуса r с цен-
тром в точке a . Это и означает, что последовательность ограни-
чена.
       4. Если последовательности {xn} и {yn} из метрического

                                                               
пространства сходятся, то
                    lim  xn , yn    lim xn , lim yn .
                       n                      n     n
       Д о к а з а т е л ь с т в о предлагаем осуществить чита-
телю самостоятельно.
       5. Если в линейном нормированном пространстве по-
следовательности {xn} и {yn} сходятся, то и последователь-
ность {xn +yn} сходится, причём
                     lim xn  yn   lim xn  lim yn .
                        n                 n         n
        Доказательство
        Пусть xn  a , yn  b . Тогда



                                           89