Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 91 стр.

       Переходя в этом неравенстве к пределу, получим иско-
мое.
       6. Если числовая последовательность { n} сходится к
числу  , а последовательность {xn} из линейного нормирован-
ного пространства L сходится к a  L , то последователь-
ность { nхn} сходится в L к элементу a .
       Доказательство
       Рассмотрим соотношения
        0  n xn  a 
                                                                 .
         n xn  a   n   a  n  a  xn  n    a
Переходя в этом неравенстве к пределу, получим искомое.


       2.8. Непрерывные отображения
       метрических пространств

         Познакомимся с более общим понятием в метрических
пространствах – непрерывным отображением. Пусть А и В –
метрические пространства с метриками  A и  B соответствен-
но и f - отображение А в В.
         Определение 50 (на «языке неравенств»)
         Отображение f : A  B называют непрерывным в точ-
ке a  A , если для любого   0 можно найти такое   0 , что
для всех x  A , удовлетворяющих неравенству  A a, x    ,
выполняется неравенство  B  f a , f x    .
      Определение 51 (на «языке окрестностей»)
      Отображение f : A  B называют непрерывным в точ-
ке a  A , если для любой окрестности V точки b  f a  мож-
но указать в A такую окрестность U точки a , что f U   V .
       Определение 52 (на «языке последовательностей»
       Отображение f : A  B называют непрерывным в точ-
ке a  A , если для любой последовательности {xn}, сходящейся
в

                                  92