Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

94
А к точке
a
, последовательность {f(x
n
)}, в точке В сходится к
точке
 
af
.
Замечание. Эквивалентность этих определений непрерывности
доказывается точно так же, как и для функций
f
:
RR
.
Определение 53
Отображение
f
:
BA
называют непрерывным на
всём метрическом пространстве А (или просто непрерывным),
если оно непрерывно в каждой точке из А.
Свойства непрерывных отображений
1. Пусть отображение
f
:
BA
непрерывно в точке
а пространства А, а отображение
CBg :
- в точке
afb
пространства В. Тогда и сквозное отображение
пространства А в С непрерывно в точке а.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Выберем любую окрестность
W
точки
afgc
пространства
C
. Так как отображение
непрерывно в точке
afb
и
cbg
, то найдётся окрестность
V
точки
b
та-
кая, что
WVg
. Точно так же, в силу непрерывности ото-
бражения
f
в точке
a
, найдётся окрестность
U
этой точки
такая, что
VUf
. Но тогда имеем:
WVgUfg
,
а это и значит, что отображение
xfgx
непрерывно в
точке
a
.
Замечание. Пусть
и
- два отображения метрического про-
странства
M
в линейное пространство
. В этом случае можно
xfgx 
А к точке a , последовательность {f(xn)}, в точке В сходится к
точке f a  .
Замечание. Эквивалентность этих определений непрерывности
доказывается точно так же, как и для функций
                             f : RR.
       Определение 53
       Отображение f : A  B называют непрерывным на
всём метрическом пространстве А (или просто непрерывным),
если оно непрерывно в каждой точке из А.
       Свойства непрерывных отображений

      1. Пусть отображение f : A  B непрерывно в точке
а пространства А, а отображение g : B  C - в точке
b  f a  пространства В. Тогда и сквозное отображение

                    x  g  f x 
пространства А в С непрерывно в точке а.
       Доказательство
       Выберем любую окрестность W точки c  g  f a 
пространства C . Так как отображение g непрерывно в точке
b  f a  и g b  c , то найдётся окрестность V точки b та-
кая, что g V   W . Точно так же, в силу непрерывности ото-
бражения f в точке a , найдётся окрестность U этой точки
такая, что f U  V  . Но тогда имеем:
                           g  f U   g V   W ,
а это и значит, что отображение x  g  f x  непрерывно в
точке a .
Замечание. Пусть  и  - два отображения метрического про-
странства M в линейное пространство L . В этом случае можно




                                      94

Страницы