Теория функций действительного переменного. Шаталова Н.П. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГПУ | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

96
говорить о сумме отображений
и
, а также о произведении
этих отображений на число
. А именно полагаем:
xxx
;
xx

.
2. Пусть
и
- непрерывные отображения метриче-
ского пространства
M
в линейное нормированное простран-
ство
L
. Тогда отображение
и

также непрерывны
на
M
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть
Ma
. Так как отображение
и
непрерывны
в точке
a
, то для любого
0
найдётся такое
, что при
xa,
выполняются неравенства
2
ax
,
2
ax
.
Но тогда
axaxax
.
Значит,
- непрерывное отображение
M
в
L
.
Замечание. Непрерывность

доказывается аналогично.
3. Если
f
- непрерывное отображение метрического
пространства
A
в метрическое пространство
B
, то полный
прообраз любого открытого множества из
B
открыт, а замк-
нутого – замкнут в
A
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть
B
- открытое множество из
B
. Требуется дока-
зать, что все точки множества
BfA
1
из А являются внут-
ренними.
Пусть
Aa
и
baf
. Тогда
Bb
и, поскольку
B
открыто в
B
,
b
- внутренняя точка
B
. Поэтому существует
окрестность
V
этой точки, принадлежащеё
B
. 
говорить о сумме отображений  и  , а также о произведении
этих отображений на число  . А именно полагаем:
               x    x    x  ;         x    x  .
         2. Пусть  и  - непрерывные отображения метриче-
ского пространства M в линейное нормированное простран-
ство L . Тогда отображение    и  также непрерывны
на M .
         Доказательство
         Пусть a  M . Так как отображение  и  непрерывны
в точке a , то для любого   0 найдётся такое   0 , что при
 a, x    выполняются неравенства
                                                                   
                  x    a                 x    a  
                                      2,                            2.
Но тогда
           x      a      x    a    x    a   
                              .
Значит,    - непрерывное отображение M в L .

Замечание. Непрерывность  доказывается аналогично.

        3. Если f - непрерывное отображение метрического
пространства A в метрическое пространство B , то полный
прообраз любого открытого множества из B открыт, а замк-
нутого – замкнут в A .
        Доказательство
        Пусть B - открытое множество из B . Требуется дока-
                                                  
зать, что все точки множества A  f 1 B из А являются внут-
ренними.
        Пусть a  A и f a   b . Тогда b  B и, поскольку B
открыто в B , b - внутренняя точка B . Поэтому существует
окрестность V этой точки, принадлежащеё B .


                                           96

Страницы