Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 133 стр.

SLU^AJ Rm: ESLI : [a; b] ! Rm | NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ WEKTOR-
FUNKCIQ, TO DLINA SOOTWETSTWU@]EJ KRIWOJ (PONIMAEMAQ
                                             Zb            KAK PREDEL
DLIN WPISANNYH LOMANYH) DAETSQ FORMULOJ ` = a k 0(t)k dt.
   x84. nEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA
   1. bUDEM GOWORITX, ^TO OTOBRAVENIE f :      ! R (  Rn ) OBLADAET W
TO^KE x0 2 LOKALXNYM MINIMUMOM (SOOTWETSTWENNO MAKSIMUMOM), ESLI
SU]ESTWUET  > 0 TAKOE, ^TO f (x)  f (x0) (SOOTWETSTWENNO f (x)  f (x0))
DLQ WSEH x 2 B (x0) \ .
   oTLOVIW POKA BOLEE PODROBNOE OBSUVDENIE WWEDENNOGO PONQTIQ NA NE-
KOTOROE WREMQ, OTMETIM PROSTOE NEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTRE-
MUMA.
   2. eSLI f DIFFERENCIRUEMA W x0 2        I OBLADAET W \TOJ TO^KE LO-
KALXNYM \KSTREMUMOM, TO f 0(x0) = 0.
  pUSTX x0 = (x10; : : :; xn0 ). fUNKCIQ ODNOGO PEREMENNOGO
                    'j (t)  f (x10; : : : ; xj0,1; t; xj0+1; : : :; xn0 )
OBLADAET W TO^KE t = xj0 LOKALXNYM \KSTREMUMOM I DIFFERENCIRUEMA W
\TOJ TO^KE. pO\TOMU (SM. 39.2) @x     @f (x0) = d'j (xj ) = 0. tAK KAK \TO WERNO
                                        j@f           dt 0              
                                                             @f
DLQ L@BOGO j = 1; n, TO f (x0) = @x1 (x0); : : :; @xn (x0) = 0: >
                                0

   x85. dIFFERENCIROWANIE OBRATNOJ FUNKCII
   1. t E O R E M A. pUSTX OTOBRAVENIE f : ! Rn (  Rn) NEPRE-
RYWNO DIFFERENCIRUEMO, PRI^EM KASATELXNOE OTOBRAVENIE f 0(a) OBRA-
TIMO (a 2 FIKSIROWANO). tOGDA SU]ESTWU@T OTKRYTYE MNOVESTWA
U (a 2 U  ) I V  Rn TAKIE, ^TO f : U ! V | BIEKCIQ, A OBRATNOE
(K f ) OTOBRAVENIE g : V ! U NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMO I
(1)                      g0(y) = [f 0(g(y))],1 (y 2 V ):
 nE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI, S^ITAEM, ^TO a = f (a) = ; f 0() = I | TOV-
DESTWENNOE OTOBRAVENIE. feSLI \TO NE TAK, TO MOVNO PEREJTI K NOWOMU
OTOBRAVENI@
        f~(x) = f 0(a),1ff (x + a) , f (a)g; x 2 ~  fx , aj x 2 g;
                                      133