Практикум по электричеству и магнетизму - 74 стр.

                                                   74


гд е   U=
              q
              C
                    -    н а п ря ж ен ие      н а п ла ст ин а х кон д ен са т ора ,            ε   С   = −L
                                                                                                                di
                                                                                                                dt
                                                                                 q    di
- э.д .с. са м оин д у кции ка т у шки ин д у кт ивн ост и. Или                    − L = iR .               (3)
                                                                                 C    dt
Т ок i я вля ется ра зря д н ым током кон д ен са т ора и в д а н н ом слу ча е
п ока зыва ет, н а ка ку ю величин у у м ен ь ша ет ся за ря д кон д ен са т ора в ед ин ицу
врем ен и. Т а к что с у чет ом зн а ка в я вн ом вид е им еем :
                                  dq                    di   d 2q
                               i=− ,                       =− 2 .                                           (4)
                                  dt                    dt   dt
                                                        d 2q         R dq   1
П од ст а вив (4) в (3), п олу чим                           2
                                                                 +        +   q = 0.                        (5)
                                                        dt           L dt LC
Ита к, за кон изм ен ен ия величин ы за ря д а кон д ен са тора к колеба т ель н ом
кон т у ре у д овлетворя ет д иф ф ерен циа ль н ом у у ра вн ен ию второго п оря д ка .
Д ля ид еа ль н ого колеба т ель н ого кон т у ра , когд а R=0, у ра вн ен ие (5)
п рин им а ет вид
                                            d 2q         1
                                                   +       q = 0.                                               (6)
                                            dt 2        LC
Эт о у ра вн ен ие п ри п остоя н н ых L и С а н а логичн о свя зи м еж д у у скорен ием
колеблю щ егося тела и см ещ ен ием х от п олож ен ия ра вн овесия п ри
                                                                       d 2x
га рм он ическом колеба т ель н ом д виж ен ии:                              2
                                                                                 + ω 02 x = 0.             (7)
                                                                        dt
Реша я д иф ф ерен циа ль н ое у ра вн ен ие (6), п олу чим след у ю щ ий за кон
изм ен ен ия за ря д ов н а п ла ст ин а х кон д ен са т ора : q = q0 cos ω 0 t , (8)
гд е q0 - м а ксим а ль н ое зн а чен ие за ря д а , кот орое оп ред еля ет ся из н а ча ль н ых
                        1
у словий, ω 0 =               - собст вен н а я (кру гова я ) ча ст от а                  элект рических
                        LC
колеба н ий. С у четом свя зи м еж д у кру говой ча стот ой и п ериод ом колеба н ий
                                                         2π           1
им еем :                                       ω0 =         =            .                                  (9)
                                                         T            LC
Отку д а                                         T = 2π LC .                          (10)
Д а н н ое у ра вн ен ие (10) н а зыва ет ся ф орм у лой Т ом сон а .
          В реа ль н ом колеба т ель н ом кон т у ре ом ическое соп рот ивлен ие R н ель зя
свест и к н у лю . П оэт ом у в н ем элект рические колеба н ия всегд а бу д у т
за т у х а ю щ им и, т а к ка к ча ст ь эн ергии бу д ет за тра чива т ь ся н а н а грева н ие
п ровод н иков (Д ж оу лево теп ло).
          Д ля    осу щ ест влен ия     н еза т у х а ю щ их электрических       колеба н ий
н еобх од им о обесп ечит ь а втом а т ическу ю п од а чу эн ергии с ча ст отой, ра вн ой
ча ст от е собст вен н ых колеба н ий кон т у ра , т.е. н еобх од им о созд а т ь
а втоколеба т ель н у ю сист ем у . Т а кой сист ем ой н еза т у х а ю щ их колеба н ий
я вля ет ся ла м п овый ген ера тор.