Практикум по электричеству и магнетизму. Солодуха А.М - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

79
где
C
q
U =
– напряжение на пластинах конденсатора, ε
С
dt
di
L-=
– э.д.с.
самоиндукции катушки индуктивности. Или
iR
dt
di
L
C
q
=-
. (3)
Ток
i
является разрядным током конденсатора и в данном случае показы-
вает, на какую величину уменьшается заряд конденсатора в единицу вре-
мени. Так что с учетом знака в явном виде имеем:
.,
2
2
dt
qd
dt
di
dt
dq
i -=-=
(4)
Подставив (4) в (3), получим
.0
1
2
2
=++ q
LCdt
dq
L
R
dt
qd
(5)
Итак, закон изменения величины заряда конденсатора к колебательном
контуре удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка.
Для идеального колебательного контура, когда R = 0, уравнение (5) при-
нимает вид
.0
1
2
2
=+ q
LC
dt
qd
(6)
Это уравнение при постоянных L и С аналогично связи между ускорением
колеблющегося тела и смещением х от положения равновесия при гармо-
ническом колебательном движении:
.0
2
0
2
2
=+ x
dt
xd
w
(7)
Решая дифференциальное уравнение (6), получим следующий закон изме-
нения зарядов на пластинах конденсатора:
,cos
00
tqq
w
=
(8)
где q
0
– максимальное значение заряда, которое определяется из начальных
условий,
LC
1
0
=
w
– собственная (круговая) частота электрических ко-
лебаний. С учетом связи между круговой частотой и периодом колебаний
имеем:
0
2
π 1
ω
T
LC
==
. (9)
откуда
2
π .
TLC
=
(10)
Данное уравнение (10) называется формулой Томсона.
В реальном колебательном контуре омическое сопротивление R
нельзя свести к нулю. Поэтому в нем электрические колебания всегда бу-
дут затухающими, так как часть энергии будет затрачиваться на нагрева-
ние проводников (джоулево тепло).
Для осуществления незатухающих электрических колебаний необхо-
димо обеспечить автоматическую подачу энергии с частотой, равной час-
тоте собственных колебаний контура, т. е. необходимо создать автоколеба-
          q
где U =
          C
            – напряжение на пластинах конденсатора,              ε = - L dtdi
                                                                   С            – э.д.с.
                                              q     di
самоиндукции катушки индуктивности. Или          -L    = iR . (3)
                                              C     dt
Ток i является разрядным током конденсатора и в данном случае показы-
вает, на какую величину уменьшается заряд конденсатора в единицу вре-
мени. Так что с учетом знака в явном виде имеем:
                           dq           di   d 2q
                        i=- ,              =- 2 .                                   (4)
                           dt           dt   dt
                                        d 2q        R dq   1
Подставив (4) в (3), получим                   +         +   q = 0.                 (5)
                                        dt 2        L dt LC
Итак, закон изменения величины заряда конденсатора к колебательном
контуре удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка.
Для идеального колебательного контура, когда R = 0, уравнение (5) при-
                        d 2q    1
нимает вид                 2
                             +    q = 0.                           (6)
                        dt     LC
Это уравнение при постоянных L и С аналогично связи между ускорением
колеблющегося тела и смещением х от положения равновесия при гармо-
                                               d 2x
ническом колебательном движении:                    2
                                                        + w 02 x = 0.               (7)
                                               dt
Решая дифференциальное уравнение (6), получим следующий закон изме-
нения зарядов на пластинах конденсатора:       q = q 0 cos w 0 t ,    (8)
где q0 – максимальное значение заряда, которое определяется из начальных
                 1
условий, w 0 =       – собственная (круговая) частота электрических ко-
                 LC
лебаний. С учетом связи между круговой частотой и периодом колебаний
                               2π      1
имеем:                     ω0 =   =        .                        (9)
                                T      LC
откуда                        T = 2 π LC .                        (10)
Данное уравнение (10) называется формулой Томсона.
      В реальном колебательном контуре омическое сопротивление R
нельзя свести к нулю. Поэтому в нем электрические колебания всегда бу-
дут затухающими, так как часть энергии будет затрачиваться на нагрева-
ние проводников (джоулево тепло).
      Для осуществления незатухающих электрических колебаний необхо-
димо обеспечить автоматическую подачу энергии с частотой, равной час-
тоте собственных колебаний контура, т. е. необходимо создать автоколеба-

                                   79

Страницы