Функции алгебры логики. Стасюк В.В. - 6 стр.

В противном случае булева функция f ( x1 ,..., xn ) ∈ Pn зависит от переменной xi несущест-
венно (фиктивно).
       Существенная зависимость от некоторой переменной в точности означает, что при
неизвестном значении этой переменной невозможно в общем случае определить значения
функции по значениям остальных переменных. При фиктивной зависимости от некоторой
переменной, напротив, значение функции в любом случае определено значениями остальных
переменных. Смотрите таблицы 1 и 2 для булевых функций одной и двух переменных.
       Пример 2. Пусть f ( x, y, z ) = ( 1101 1101 ) . Выясним, от каких переменных данная
функция зависит существенно, а от каких фиктивно.
       Составляя развернутую стандартную таблицу функции трех переменных x , y и z
замечаем, что относительно переменной x первая половина этой таблицы соответствует зна-
чению x = 0 , а вторая — x = 1 , значения же остальных переменных в первой и во второй по-
ловинках повторяются. Поэтому, разбивая на две равные части значения функции, сопостав-
ляя их, можно определить зависимость от переменной x :

                         1101       1101                  1101 →                      1101
                                                     →                        →            .
                                    ↵                       ← 1101                    1101

Так как во всех четырех позициях, соответствующих всевозможным наборам значений пере-
менных y и z , значения функции совпадают, то переменная x — фиктивная.
       Чтобы аналогичным образом сопоставить значения функции относительно перемен-
ной y , необходимо эти значения разбить на четыре равные части:

                    11     01       11       01          11 →         11 →             11 11
                                                     →                            →            .
                           ↵                 ↵             ← 01          ← 01          01 01

       Обнаружили различия в первой и третьей позициях. Рассмотрим, например первую
позицию. В ней верхнее значение 1 функция принимает на самом первом наборе (0, 0, 0) , а
нижнее значение 0 — на третьем наборе (0,1, 0) . Таким образом, среди всех двоичных набо-
ров значений переменных x и z на наборе α1 = 0 , α 3 = 0 имеем

                                     f ( 0, 0, 0 ) = 1 ≠ 0 = f ( 0,1, 0 ) .

Это означает, что данная функция зависит от переменной y существенно.
      Наконец, чтобы выяснить зависимость функции от переменной z , разобьем значения
функции на восемь частей:

            1 1    0     1 1    1        0       1       1→      0→          1→   0→           10 10
                                                     →                                   →             .
              ↵        ↵        ↵            ↵           ←1       ←1          ←1 ←1            11 11

Здесь, например,
                                         f ( 0,1, 0 ) = 0 ≠ 1 = f ( 0,1,1)

и, значит, данная функция зависит от переменной z существенно.
       Замечание. Понятие существенной зависимости позволяет говорить, что две булевы
функции равны, если одна из другой получается введением (или удалением) несущественных