Математическая логика и теория алгоритмов. Стенюшкина В.А. - 28 стр.

      8 Применение алгебры высказываний к доказательству
     теорем математики

      Многие теоремы математики имеют форму импликации, а допущениями
служат аксиомы развиваемой теории. Схемно эту ситуацию представим в виде:

                            А1,…, Аm ⇒ А → В,                           (8.1)

     где А1, …, Аm – аксиомы,
     А → В - теорема (не высказывание).

      8.1 Теоремы прямая и обратная

      Теоремы вида А → В и В → А называются взаимно-обратными. В кон-
кретной ситуации одну из них называют прямой, другую – обратной. Очевидно,
обратная обратной есть исходная теорема. Это означает, что если взять, напри-
мер, за исходную теорему А → В, то обратная ей будет В → А, обратная к по-
следней будет снова А → В.
      Для любой пары взаимно- обратных теорем может наблюдаться один из
случаев:
       а) обе теоремы верны;
       б) прямая теорема верна, обратная неверна;
       в) прямая неверна, обратная верна;
       г) обе теоремы неверны.
      Примеры
      1 Пусть А:=«Число делится на 4»; В:=«Число делится на 2». Тогда прямая
теорема А → В верна, обратная В → А неверна.
      2 Пусть А: = «Фигура есть квадрат», В: = «Фигура есть ромб». Тогда и
прямая и обратная теоремы неверны.
      Если теорема А → В верна, то А называется достаточным условием для
В, а В – необходимым условием для А.
      Если верны и прямая, и обратная теоремы, то каждое из А , В является
необходимым и достаточным для другого.
      Пример - Если А:=«Число делится на 3», В:=«Сумма цифр числа делится
на 3», то А есть необходимое и достаточное условие для В.

     Теоремы противоположная и обратная противоположной

     Теоремы вида А → В и В → А называются взаимно противоположными.
     Пример - Если А → В:=«Если функция дифференцируема (А), то она не-
прерывна (В)», то А → В:=«Если функция не является дифференцируемой (А),
то она не является непрерывной (В)». Как известно, в данном случае теорема
А→В верна, теорема А→В неверна.