Математическая логика и теория алгоритмов. Стенюшкина В.А. - 29 стр.

     Закон контрапозиции

      Пусть А → В – прямая теорема. Ей соответствуют теоремы: В → А – обра-
тная теорема, А → В – противоположная, B → A обратная противоположной.
      Теорема Если прямая теорема верна, то верна обратная противополож-
ной. Обратно, если теорема, обратная противоположной верна, то прямая верна.
      Доказательство Известна тавтология (А → В) → (В → А) – (закон контра-
позиции, - то есть (А → В) ⇒ ( B → A ), и первая часть теоремы доказана.
      Для B , A эта часть теоремы принимает вид B → A → (А→В) – тавтоло-
гия, и вторая часть, а вместе с ней теорема доказана.
      Примечание - Теорема о теоремах называется метатеоремой по отноше-
нию к этим теоремам.

     Методы математических доказательств

     Обратимся к схеме (8.1). Обычный способ доказательства теоремы       А
→ В состоит в том, что А принимают в качестве еще одного допущения, то есть
приходят к схеме:
                               А1, …, Аn , А ⇒ В                      (8.2)

      Основанием для такого перехода служат равносильности: А1 ∧ … ∧ Аn →
(А → В)= A1 ∨ …∨ An ∨ A ∨ B = А1∧ … ∧ Аn ∧ А → В.
      По способу проведения доказательства в математике делятся на два вида:
прямое доказательство (доказательство теоремы в предложенной формулиров-
ке, или прямой теоремы) и доказательство от противного (то есть доказательст-
во теоремы, обратной противоположной).