ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
57
Приложение
(справочное)
Вывод формул относительных погрешностей
1. Вывод формулы относительной погрешности определения ускорения
свободного падения (фронтальная работа):
22
11
∆⋅⋅
∂
∂
+
∆⋅⋅
∂
∂
=
∆
=γ T
gT
g
l
gl
g
g
g
,
где
l
g
∂
∂
и
T
g
∂
∂
- частные производные
g
по
l
и
T
соответственно.
Чтобы найти частную производную функции нескольких переменных по
одной из переменных, надо взять производную функции по этой переменной,
считая другие переменные постоянными величинами.
;
Tl
T
T
l
gT
g
T
l
T
TlT
T
g
;
ll
T
Tgl
g
Tl
g
2
4
818240
1
4
414
2
2
3
2
3
2
4
22
2
2
2
2
2
2
=
π
⋅
π−
=⋅
∂
∂
⇒
π−
=
π−⋅
=
∂
∂
=
π
⋅
π
=⋅
∂
∂
⇒
π
=
∂
∂
22
2
∆
+
∆
=γ
T
T
l
l
.
2. Вывод формулы относительной погрешности определения значения
k
(работа № 2):
( ) ( ) ( )
)mm(m
m
m
mm
mm
m
km
k
;
mm
m
mm
m)mm(
m
k
211
2
1
21
2
21
2
1
2
21
2
2
21
121
1
2
22
2
21
2
2
2
121
+
=
+
⋅
+
=⋅
∂
∂
+
=
+
⋅
−
+
⋅
=
∂
∂
;
( ) ( ) ( )
21
2
1
21
2
21
21
2
2
21
21
2
21
2121
2
2
22
2
21
2
2
2
220
mm
m
m
mm
mm
mm
km
k
;
mm
mm
mm
mm)mm(
m
k
+
−
=
+
⋅
+
−
=⋅
∂
∂
+
−
=
+
⋅
−
+
⋅
=
∂
∂
;
2
2
2
2
1
1
11
∆⋅⋅
∂
∂
+
∆⋅⋅
∂
∂
=γ
m
km
k
m
km
k
k
=
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
21
22
2
21
22
2
211
12
+
+
∆
=
+
∆
+
+
∆
=γ
m
mm
mm
mm
mm
)mm(m
mm
k
.
Приложение
(справочное)
Вывод формул относительных погрешностей
1. Вывод формулы относительной погрешности определения ускорения
свободного падения (фронтальная работа):
2 2
∆g ∂g 1 ∂g 1
γ= = ⋅ ⋅ ∆l + ⋅ ⋅ ∆T ,
g ∂l g ∂T g
∂g ∂g
где и - частные производные g по l и T соответственно.
∂l ∂T
Чтобы найти частную производную функции нескольких переменных по
одной из переменных, надо взять производную функции по этой переменной,
считая другие переменные постоянными величинами.
∂g 4π2 ∂g 1 4π 2 T 2 1
= 2 ⇒ ⋅ = 2 ⋅ 2 = ;
∂l T ∂l g T 4π l l
∂g 0 ⋅ T 2 − 4π 2l 2T − 8π 2l ∂g 1 − 8π 2l T 2 2
= = ⇒ ⋅ = ⋅ 2 = ;
∂T T 4
T 3
∂T g T 3
4π l T
∆l 2∆T
2 2
γ = + .
l T
2. Вывод формулы относительной погрешности определения значения k
(работа № 2):
∂k 1 ⋅ ( m1 + 2m2 ) − m1 ⋅ 1 2m2 ∂k 1 2m2 m + 2m2 2m2
= = ; ⋅ = ⋅ 1 =
∂m1 (m1 + 2m2 )2
(m1 + 2m2 ) ∂m1 k (m1 + 2m2 )
2 2
m1 m1( m1 + 2m2 )
;
∂k 0 ⋅ ( m1 + 2m2 ) − m1 ⋅ 2m2 − 2m1m2 ∂k 1 − 2m1m2 m1 + 2m2 − 2m2
= = ; ⋅ = ⋅ =
∂m2 (m1 + 2m2 )2
(m1 + 2m2 ) ∂m2 k (m1 + 2m2 )
2 2
m1 m1 + 2m2
;
2 2
∂k 1 ∂k 1
γ k = ⋅ ⋅ ∆m1 + ⋅ ⋅ ∆m2 =
∂m1 k ∂m2 k
2 2
2m 2 ∆m1 2m 2 ∆m 2 2m2 ∆m 2 1
γ k = + = +1 .
m1 ( m1 + 2m 2 ) m1 + 2m 2 m1 + 2m 2 m12
57
