Физика. Часть 4. Атомная физика. Терлецкий И.А - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

38
Таким образом, при T = 0 К уровень Ферми определяет границу между
заполненными и пустыми состояниями.
Очевидно, что чем больше число электронов в расчете на единицу объема,
тем выше оказывается верхний заполненный электронами уровень Е
F
. Строгий
расчет показывает, что зависимость энергии Ферми Е
F
при T = 0 К от
концентрации свободных электронов n определяется следующим выражением:
( )
2
2
2
3
3
2
F
En
m
π=
h
, (2.1)
где m – масса электрона; ћ – постоянная Планка.
При T >0 К в результате теплового движения небольшое число электронов
с энергией, близкой к Е
F
, будут заброшены на более высокие энергетические
уровни. Такое распределение электронов в металле описывается законом
Ферми-Дирака. Этот закон определяет вероятность f(E) того, что квантовое
состояние с энергией Е при температуре T занято электроном:
kT
)EE(
F
e
)E(f
−
+
=
1
1
, (2.2)
где Е
F
– энергия Ферми при температуре T; k – постоянная Больцмана.
В частности, формула (2.2) отражает тот рассмотренный нами факт, что
при T =0 К все уровни с энергией Е≤ E
F
заняты электронами, т.е. вероятность
заполнения состояний f(E)=1. Это легко показать. При T =0 К и Е≤ E
F
разность
Е-E
F
= -∆E<0, а ∞==
11
kT
. Тогда формула (2.2) преобразуется:
1
1
1
1
1
0
=
+
=
+
=
∞−∆−
e
e
)E(f
E
.
Уровни с энергией Е>E
F
свободны, т.е. вероятность заполнения f(E)=0. Те
же рассуждения для Е>E
F
– разность Е-E
F
= ∆E>0, и формула (2.2) для данного
случая дает результат:
0
1
1
1
1
0
=
+
=
+
=
∞+∆+
e
e
)E(f
E
.
На рис.2.1,а предоставлена зависимость функции f(E) от энергии Е
электронов при T =0 К.
При температурах, отличных от нуля (T >0 К), функция Ферми-Дирака f(E)
плавно меняется вблизи энергии Ферми E
F
от единицы до нуля (рис.2.1,б). Это
соответствует тому, что часть электронов покинула состояние с энергией
меньше энергии Ферми E
F
и находится в состояниях с энергией больше
энергии Ферми E
F
.
Заметим, что из формулы (2.2) следует, что при любой температуре T≠0 К
состояния с энергией, равной энергии Ферми ( Е = Е
F
), имеет вероятность 
    Таким образом, при T = 0 К уровень Ферми определяет границу между
заполненными и пустыми состояниями.
    Очевидно, что чем больше число электронов в расчете на единицу объема,
тем выше оказывается верхний заполненный электронами уровень ЕF. Строгий
расчет показывает, что зависимость энергии Ферми ЕF при T = 0 К от
концентрации свободных электронов n определяется следующим выражением:
                                     h2
                                        (         )
                                                      2
                             EnF =        3π 2            3
                                                              ,                    (2.1)
                                     2m
где m – масса электрона; ћ – постоянная Планка.
     При T >0 К в результате теплового движения небольшое число электронов
с энергией, близкой к ЕF, будут заброшены на более высокие энергетические
уровни. Такое распределение электронов в металле описывается законом
Ферми-Дирака. Этот закон определяет вероятность f(E) того, что квантовое
состояние с энергией Е при температуре T занято электроном:
                                                  1
                             f(E)=             ( E − EF )
                                                                       ,   (2.2)
                                        1+ e                      kT

где ЕF – энергия Ферми при температуре T; k – постоянная Больцмана.
      В частности, формула (2.2) отражает тот рассмотренный нами факт, что
при T =0 К все уровни с энергией Е≤ EF заняты электронами, т.е. вероятность
заполнения состояний f(E)=1. Это легко показать. При T =0 К и Е≤ EF разность
                   1 1
Е-EF = -∆E<0, а     = = ∞ . Тогда формула (2.2) преобразуется:
                  kT 0
                                              1                       1
                              f(E)=            − ∆E
                                                              =             = 1.
                                        1+ e             0         1 + e− ∞
    Уровни с энергией Е>EF свободны, т.е. вероятность заполнения f(E)=0. Те
же рассуждения для Е>EF – разность Е-EF = ∆E>0, и формула (2.2) для данного
случая дает результат:
                                           1                         1
                             f(E)=            + ∆E
                                                              =            = 0.
                                       1+ e          0            1 + e+ ∞
    На рис.2.1,а предоставлена зависимость функции f(E) от энергии Е
электронов при T =0 К.
    При температурах, отличных от нуля (T >0 К), функция Ферми-Дирака f(E)
плавно меняется вблизи энергии Ферми EF от единицы до нуля (рис.2.1,б). Это
соответствует тому, что часть электронов покинула состояние с энергией
меньше энергии Ферми EF и находится в состояниях с энергией больше
энергии Ферми EF .
      Заметим, что из формулы (2.2) следует, что при любой температуре T≠0 К
состояния с энергией, равной энергии Ферми ( Е = ЕF), имеет вероятность

                                           38

Страницы