Алгебра. Ткач Л.И. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

представление в виде произведения транспозиций, например такое:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)( )
43421
e
32231314121342
=
. Однако при разложении
подстановки в произведение транспозиций есть инвариант. Так как любая подстановка или четная, или нечетная, то число
транспозиций в любом представлении подстановки в виде произведения транспозиций тоже должно быть или четным, или
нечетным, соответственно. Действительно, допустим, что подстановка
α
допускает какое-то представление в виде произве-
дения
d транспозиций, тогда
() ( )
d
1sgn −=α . Следовательно, четность подстановки
α
и числа d должна быть одинакова.
Таким образом,
четность числа транспозиций в представлении подстановки в виде произведения транспозиций и есть
тот инвариант, о котором шла речь.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 9
9.1. Перемножить подстановки в указанном и обратном порядке:
1)
=αβ
4
5
21
43
35
21
2
5
51
43
43
21
;
2)
=αβ
3
6
6
5
51
43
42
21
1
6
2
5
54
43
63
21
.
9.2. Найти обратную подстановку для указанной подстановки:
1)
2
7
6
6
3
5
71
43
45
21
; 2)
4
7
2
6
5
5
76
43
13
21
.
9.3. Записать подстановки: а) в виде произведения независимых циклов; б) в виде произведения транспозиций:
1)
2
7
6
6
3
5
71
43
45
21
; 2)
4
7
2
6
5
5
76
43
13
21
;
3)
4
7
2
6
1
5
56
43
73
21
.
9.4. Записать произведение циклов в виде одной подстановки с двумя строками, считая, что
{}
9;8;7;6;5;4;3;2;1=X :
1) (15)
(234);
2) (13)
(25) (4);
3) (7531)
(246) (8) (9).
9.5. Пусть
α
– цикл длины l. Для каких степеней k верно равенство e
k
=α , где e – тождественная подстановка.
9.6. Пусть подстановка
α есть произведение двух независимых циклов длин
21
,ll , соответственно:
21
α
α
=
α . Для ка-
ких степеней
k верно равенство e
k
=α , где e – тождественная подстановка.
9.7. Обобщить предыдущие задачи на случай:
n
α
α
α
=
α
...
21
, где
n
α
α
α
...,,,
21
– независимые циклы длин
n
lll ...,,,
21
,
соответственно.
9.8. Для подстановок из 9.3), 9.4) найти
порядок (т.е. такую наименьшую натуральную степень k, для которой верно
равенство
e
k
=α , где e – тождественная подстановка).
9.9. Определить четность подстановки:
1)
3
5
25
43
14
21
; 2)
3
6
2
5
41
43
56
21
;
3)
24
87
7
6
5
5
63
43
18
21
; 4)
7
9
63
87
4
6
1
5
29
43
85
21
;
5)
−
−
12
2
2
12
...
...
34
43
12
21
n
n
n
n
.
9.10. Дана подстановка
() ( ) () ( ) ( )
τττττ
=τ
n
n
k
k
...
...
...3
...3
21
21
.
Найти число инверсий вида (ik), где k – фиксированное число, i ∈ X,
i ≠ k, если: 1)
()
1=τ k ; 2)
()
nk =τ .
9.11. Определить наибольшее число инверсий для подстановки на множестве
{
}
nX ...;;3;2;1
=
. Привести пример такой
подстановки.
9.12. Число инверсий подстановки
−
=α
− nn
aa
nn
a
aa
13
21
1
1
...
...3
21
равно k. Найти число инверсий подстановки

Страницы