Составители:
Рубрика:
100
задержки, что позволило по одной известной точке построить резонансну
ю кривую (рис. 5.10).
§ 6. Энергетические соотношения при резонансе и метод усреднения
Полезно получить выражения для резонансной кривой и фазы выну-
жденных колебаний другим способом, в основе которого лежит метод
усреднения. Проведем этот вывод на примере колебательного контура,
описываемого уравнением (5.2). Умножим е го на I =
˙
Q и учтем, что
2Q
˙
Q = dQ
2
/dt, 2
˙
Q
¨
Q = d(
˙
Q)
2
/dt, ω
2
0
= (1/LC) и γ = R/(2L). Полученное
уравнение можно записать в виде
d
dt
LI
2
(t)
2
+
Q
2
(t)
2C
+ RI
2
(t) = E(t)I(t) . (5.24)
Очевидно, что это закон сохранения энергии: работа, совершаемая ЭДС,
расходуется на изменение энергии в контуре и омические потери. Усред-
ним это уравнение по времени, предполагая, что переходной процесс за-
вершился и в контуре существуют только периодические вынужденные
колебания. При усреднении полной производной по периоду получает ся
нуль, поэтому результат усреднения таков:
R
I
2
(t) = E(t)I(t) . (5.25)
Это соотношение выражает закон сохранения энергии в среднем за пери-
од .
Одного уравнения недостаточно, чтобы определить амплитуду и фазу
колебаний. Для получения второго уравнения умножим (5.2) на Q(t) и
воспользуемся формулой Q
¨
Q = d(Q
˙
Q)/dt −
˙
Q
2
. Получаем
d
dt
(Q
˙
Q − γQ
2
) −
˙
Q
2
+ ω
2
0
Q
2
=
1
L
E(t)Q(t) .
После усреднения по времени слагаемое с полной производной вновь ис-
чезает, а оставшееся выражение приводится к виду
Q
2
(t)
2C
−
L
I
2
(t)
2
=
1
2
E(t)Q(t) . (5.26)
В левой части (5.26) стоит разность средних за период значений электри-
ческой и магнитной энергий колебаний. Физический смысл этого соотно-
шения становится понятным, если привлечь аналогию между колебани-
ями в контуре и колебаниями механической системы, например грузика
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- …
- следующая ›
- последняя »
