Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

101
на пружинке. Уравнения второй системы получаются из первой замена-
ми Q(t) → x(t), I(t) → v(t), L → m, 1/C → k и E(t) → F
вн
(t) (F
вн
— внешняя сила, действующая на грузик). При этом уравнение (5.26)
преобразуется в
k
x
2
(t)
2
−
m
v
2
2
=
1
2
F
вн
(t)x(t) ,
или 2(
W
п
− W
к
) = F
вн
(t)x(t). Поскольку упругая сила, действующая на
грузик, равна F
упр
= −kx, то эта формула может быть переписана сле-
дующим образом: 2
W
к
+ V = 0, где V = (F
вн
+ F
упр
)x(t) — вириал си-
стемы [7]. Таким образом, уравнение (5.26) есть полный аналог теоремы
вириала (1.53) для механических систем, о которой шла речь в главе 1.
До сих пор единственным предположением, сделанным при выводе
уравнений (5.25) и (5.26) было предположение о периодичности движения
осциллятора. Конкретизируем его, считая, что ЭДС меняется по гармо-
ническому закону
4
E(t) = E
0
cos pt, а отклик осциллятора равен Q(t) =
= Q
0
cos(pt + ψ). В этом случае все средние в формулах (5.25) и (5.26)
легко вычисляются, что дает соотношения
Rp
2
Q
2
0
= −pQ
0
E
0
sin ψ ,
Q
2
0
2C
−
p
2
L
2
Q
2
0
2
=
1
2
Q
0
E
0
cos ψ ,
(5.27)
или
2γpQ
0
= −E
0
/L sin ψ ,
(ω
2
0
− p
2
)Q
0
= E
0
/L cos ψ ,
(5.28)
Возводя в квадрат и складывая эти формулы, получаем
Q
2
0
=
E
2
0
/L
2
(ω
2
0
− p
2
)
2
+ 4γ
2
p
2
,
что, очевидно, с точностью до переобозначений совпадает с формулой для
резонансной кривой (5.18). Подставив найденное значение Q
0
в (5.28),
получаем формулы (5.16) для сдвига фазы ψ.
4
Фазу внешней силы ψ
0
можно положить равной нулю, так как рассматривается толь-
ко установившееся решение, и отсчет времени можно выбрать так, чтобы обеспечить
выполнение этого условия.

Страницы