Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 181 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

181
В установившемся режиме осцилляторы совершают колебания с ча -
стотой внешней силы, поэтому можно записать x
1,2
= Re[X
1,2
e
ipt
], X
1,2
— комплексные амплитуды. Из уравнений (8.48) получаем уравнения для
комплексных амплитуд
(−p
2
+ n
2
1
)X
1
−
k
¯m
1
X
2
=
F
1
¯m
1
,
−
k
¯m
2
X
1
+ (−p
2
+ n
2
1
)X
2
=
F
2
¯m
2
,
(8.49)
решения которых суть
X
1
=
(−p
2
+ n
2
2
)F
1
/ ¯m
1
+ kF
2
/ ¯m
1
¯m
2
(p
2
− n
2
1
)(p
2
− n
2
2
) − k
2
/ ¯m
1
¯m
2
,
X
2
=
kF
1
/ ¯m
1
¯m
2
+ (−p
2
+ n
2
1
)F
2
/ ¯m
2
(p
2
− n
2
1
)(p
2
− n
2
2
) − k
2
/ ¯m
1
¯m
2
.
(8.50)
Выражение в знаменателях обоих формул есть детерминант линейной
системы уравнений (8.49). Если частота внешней силы совпадает с одной
из собственных частот системы — ω
1
или ω
2
— то детерминант будет
равен нулю, при этом решения (8.50) теряют смысл. В таком случае ли-
бо необходимо учитывать потери в системе, либо, если потери все-таки
точно равны нулю, строить полное нестационарное решение. Последняя
ситуация не является надуманной, например в квантовой механике воз-
действие на атомную систему периодической силы приводит к перехо-
дам между атомными уровнями, и процесс такого перехода описывается
нестационарными решениями указанного типа. Мы, однако, для простоты
ограничимся случаем, когда точного резонанса нет.
Предположим, что сила действует только на один из осцилляторов,
например на первый. Тогда F
2
≡ 0, и без ограничения общности можно
считать, что F
1
— действительная величина. Знаменатель дробей в фор-
мулах (8.50) можно представить как (p
2
− ω
2
1
)(p
2
− ω
2
2
). Это очевидно,
так как оба этих полинома относительно p
2
имеют одинаковые нули а
коэффициенты при старшей степени равны. Поэтому
X
1
=
−(p
2
− n
2
2
)
(p
2
− ω
2
1
)(p
2
− ω
2
2
)
F
1
¯m
1
,
X
2
=
k/ ¯m
1
¯m
2
(p
2
− ω
2
1
)(p
2
− ω
2
2
)
F
1
.
(8.51)
Из этих выражений следует, что колебания осцилляторов происходят ли-
бо в фазе, либо в противофазе с внешней силой. На рис. 8.7,а показано,

Страницы