Составители:
Рубрика:
179
выразим ξ
1
,ξ
2
через x
1
, x
2
:
ξ
1
=
1
√
1 − r
1
r
2
(x
1
− r
2
x
2
) ,
ξ
2
=
1
√
1 − r
1
r
2
(−r
1
x
1
+ x
2
) .
(8.47)
Умножим второе из уравнений (8.24) на r
2
и вычтем из первого. Исполь-
зуя легко доказываемые соотношения n
2
1
+ r
2
k/ ¯m
2
= n
2
2
+ k/(r
2
¯m
1
) = ω
2
1
,
получаем уравнение гармонического осциллятора для ξ
1
с частотой ω
1
:
¨
ξ
1
+ ω
2
1
ξ
1
= 0. Аналогично, если умножить первое из уравнений (8.22)
на r
1
и вычесть из второго, то получим уравнение осциллятора для ξ
2
с
частотой ω
2
:
¨
ξ
2
+ ω
2
2
ξ
2
= 0. Таким образом, введенные переменные дей-
ствительно представляют собственные моды колебаний системы. Можно
также показать, что переход к переменным ξ
1
и ξ
2
в выражениях для
кинетической и потенциальной энергии системы исключает из них слага-
емые вида ξ
1
ξ
2
и
˙
ξ
1
˙
ξ
2
, отвечающие за связь между осцилляторами.
Задача 8.1. Кинетическая энергия колебаний связанных маятников на
рис. 8.1,а равна
K =
1
2
m
1
l
2
1
˙x
2
1
+ m
2
l
2
2
˙x
2
2
,
а потенциальная —
U =
1
2
m
1
gl
1
x
2
1
+ m
2
gl
2
x
2
2
+ kl
2
(x
2
− x
1
)
2
.
Покажите, что переход к переменных ξ
1
и ξ
2
, приводит к выражениям для
кинетической и потенциальной энергий в виде суммы энергий двух несвя-
занных осцилляторов:
K =
1
2
¯m
1
˙
ξ
2
1
+ ¯m
2
˙
ξ
2
2
,
U =
1
2
¯m
1
ω
2
1
ξ
2
1
+ ¯m
2
ω
2
2
ξ
2
2
.
Из выражений (8.46) и (8.47) еще раз следует, что если коэффици-
ент r, а, следовательно, и коэффициенты r
1
и r
2
гораздо меньше едини-
цы, то координаты собственных мод близки к координатам каждого из
осцилляторов в отдельности. Если же r ∼ 1, то оба осциллят ора дают
соизмеримый вклад в обе собственных моды.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- …
- следующая ›
- последняя »
