Составители:
Рубрика:
210
следующие замены:
ϕ
n
(t) → ϕ(x, t) ,
ϕ
n+1
(t) −→ ϕ{(x + a), t} = ϕ(x, t) +
∂ϕ(x, t)
∂x
a +
1
2
∂
2
ϕ(x, t)
∂x
2
a
2
+ . . . ,
ϕ
n−1
(t) −→ ϕ{(x − a), t} = ϕ(x, t) −
∂ϕ(x, t)
∂x
a +
1
2
∂
2
ϕ(x, t)
∂x
2
a
2
+ . . . .
Переходя от дискретной координаты к непрерывной и используя введен-
ные выше замены в уравнении, получим уравнение в частных производ-
ных
∂
2
ϕ(x, t)
∂t
2
− v
2
∂
2
ϕ(x, t)
∂x
2
+ ω
2
0
ϕ(x, t) = 0, (9.2)
где v
2
= γ
1
a
2
/m. Это линеаризованное уравнение Клейна — Гордона,
впервые появившееся в теории поля.
Если в уравнении (9.2) устремить ω
0
к нулю, то получим обычное
линейное волновое уравнение
∂
2
ϕ(x, t)
∂t
2
− v
2
∂
2
ϕ(x, t)
∂x
2
= 0 . (9.3)
Вообще говоря, любая одномерная волна малой амплитуды может
быть описана решением волнового уравнения (9.3), где v = const и имеет
размерность скорости.
Для любых функций F
1
и F
2
решениями уравнения (9.3) являются
функции F
1
(x − vt) и F
2
(x + vt). Очевидно, что решение
ϕ(x, t) = F
1
(x − vt) + F
2
(x + vt) (9.4)
в виде двух волн, распространяющихся навстречу друг другу, также удо-
влетворяют уравнению (9.3).
Введем обозначения ξ = x − vt и η = x + vt. Тогда
∂ϕ
∂x
=
∂F
1
∂ξ
,
∂ϕ
∂t
= −v
∂F
1
∂ξ
,
∂
2
ϕ
∂x
2
=
∂
2
F
1
∂ξ
2
,
∂
2
ϕ
∂t
2
= v
2
∂
2
F
1
∂ξ
2
.
Отсюда получаем, что для ϕ = F
1
(ξ) выполняется уравнение
∂
2
ϕ
∂t
2
− v
2
∂
2
ϕ
∂x
2
= 0 .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- …
- следующая ›
- последняя »
