Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 393 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

393
Очевидно, что знак энергии волны зависит от системы отсчета. При
преобразовании Галилея энергия волны преобразуется одновременно с
допплеровским сдвигом ее частоты. Величина L
ω
= G
ω
a
2
инвариантна
относительно преобразования Галилея, поэтому сдвигается лишь одна
граница волновых чисел, соответствующих ВО Э, где ω = 0, а граница
G
ω
= 0 остается неизменной.
Сам факт устойчивости или неустойчивости остается неизменным, а
соответствующий декремент или инкремент инвариантны. В соответствии
с формулой (16.22) функция ω
0
νa
2
меняет знак вместе с частотой волны.
Для неустойчивости ВО Э нужна “истинная” диссипация, т. е. положи-
тельные потери в лабораторной для ВОЭ системе отсчета. При движении
системы отсчета знаки энергии и потерь изменяются одновременно. Раз-
личие знаков энергии двух связанных волн также сохраняется в любой
системе отсчета.
Заметим, что при иной постановке задачи гармонический источник,
неподвижный относительно данной системы отсчета, возбуждает в среде
волну с частотой ω, и, следовательно, речь должна идти о пространствен-
ном усилении волны. Воспользуемся очевидным соотношением
G
ω
ω
00
+ G
k
k
00
= 0 ,
из которого следует, что
k
00
= −ω
00
G
ω
G
k
=
ω
00
v
гр
,
т. е. пространственный инкремент k
00
связан с временным ω
00
через груп-
повую скорость v
гр
. Изменение знака k
00
в области ω
00
< 0 не приводит к
усилению, поскольку при этом одновременно с k
00
меняется знак v
гр
, т. е.
направление потока энергии волны. Волна затухает в направлении рас-
пространения энергии. Пространственной неустойчивости соответствуе т
изменение знака k
00
одновременно с изменением знака ω
00
при неизмен-
ном знаке v
гр
. В окрестности точки, где L
k
= 0, нужно учесть следующий
член разложения G(ω, k) по k. Тогда
G
ω
ω
00
+
(k
00
)
2
2
G
kk
= 0
и
k
00
=
−
2G
ω
ω
00
G
kk
1/2
.

Страницы