Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I. Васильев А.Н - 144 стр.

ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå, ïðèíàäëåæàùåãî çîíå a. Âîëíîâûå
ôóíêöèè ak ïðåäïîëàãàþòñÿ óäîâëåòâîðÿþùèìè óðàâíåíèþ
èäåàëüíîãî êðèñòàëëà:
    H$ ak = E (k) ak .
        0            a

Äåôåêò âíîñèò âîçìóùåíèå V$ = H$ 1 - H$ 0 , ãäå H$ 1 — ãàìèëüòî-
íèàí êðèñòàëëà ñ äåôåêòîì. Òåì ñàìûì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýíåð-
ãèè è âîëíîâîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ íåîáõîäèìî ðåøèòü óðàâ-
íåíèå
    (H$ + V$ ) l = E l .
        0                   l

Äîìíîæàÿ ýòî óðàâíåíèå ñëåâà íà ak è èíòåãðèðóÿ ïî âñåìó
ïðîñòðàíñòâó, ïîëó÷èì
    [E a (k) - E l ] fla (k) +       å ò d3 r            ak V$ (r) a ¢k¢ fla ¢ (k¢) = 0 .
                                     a ¢k ¢

Ïåðåéäåì         â    ý òîì ó ðàâíåíèè   ê   î ãèáàþ ùèì
Fla (l) = N -1 2
                 å e al . Ïðåäâàðèòåëüíî ïðåîáðàçóåì âõî-
                    ikl

                   k
äÿùèé â ýòî óðàâíåíèå èíòåãðàë, ïåðåéäÿ îò ôóíêöèé Áëîõà ê
ôóíêöèÿì Âàíüå, ëîêàëèçîâàííûìè âáëèçè ÿ÷åéêè ñ ðàäèóñ-
âåêòîðîì l: al = N - 1 2 å e -ikl ak . Ïîñëå ýòîãî ïîä èíòåãðà-
                                 k
ëîì ïî âñåìó ïðîñòðàíñòâó áóäåò ñòîÿòü
    N -1 å al V$ (r) a ¢l ¢ e -ikl + ikl ¢ .
            ll ¢

      Ñëàáîñòü ïîòåíöèàëà âîçìóùåíèÿ V$ (r) ïðåäïîëàãàåò, â
÷àñòíîñòè, ñëàáóþ çàâèñèìîñòü V$ îò êîîðäèíàò íà ðàññòîÿíè-
ÿõ ïîðÿäêà ïîñòîÿííîé ðåøåòêè. Çà ñ÷åò ýòîãî ìîæíî âûíåñòè
V$ (l) çà çíàê ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà è çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ
ïîëíîòîé ñèñòåìû ôóíêöèé Âàíüå:

    ò   al al ¢ d 3 r = d aa ¢ d ll ¢ .

Óðàâíåíèå äëÿ îãèáàþùåé Fla â ýòîì ñëó÷àå áóäåò èìåòü âèä
(ñ çàìåíîé l ® r â êîíòèíóàëüíîì ïðèáëèæåíèè):
    [E (k$ ) - E ] F (r) + V(r) F (r) = 0 .
        a           l     la                        la



                                              143