Компьютерная математика: Часть 1. Теория множеств и комбинаторика. Волченская Т.В - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

61
=
4
3)2)(m1)(mm(m
+
++
.
С помощью формулы (7) легко найти сумму квадратов натуральных
чисел от 1 до m .
3.5.1. Сумма степенных рядов
Перепишем формулу (7).
1 + 1 + 2
2
+ 2 + 3
2
+ 3 +…+ m
2
+ m =
3
2)1)(mm(m +
+
;
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+…+ m
2
+ 1 + 2 + 3
+…+ m =
3
2)1)(mm(m
+
+
.
Зная, что
1 + 2 + 3 +...+ m =
2
1)m(m
+
, а (1
2
+ 2
2
+ 3
2
+...
...+ m
2
) – это искомое выражение, тогда
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+…+ m
2
=
3
2)1)(mm(m
+
+
–
2
1)m(m
+
=
=
6
3)-41)(2mm(m
++
=
6
1)1)(2mm(m
+
+
. (9)
Аналогично, используя формулу (8), можно найти сумму кубов:
1
3
+ 2
3
+ …+ m
3
=
4
1)(mm
22
+
. (10)
6 + 24 + 60 + 120 + . . . + m (m+1) (m+2)=
4
3)2)(m1)(mm(m
++
+
;
2
3
–2 + 3
3
–3 + 4
3
–4 +5
3
–5 + ... + (m+1)
3
–(m+1) =
4
3)2)(m1)(mm(m ++
+
;
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ 4
3
+ 5
3
+... +(m+1)
3
– (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... +m+1)= =
4
3)2)(m1)(mm(m
+++
;
1
3
+ 2
3
+3
3
+ 4
3
+ 5
3
+... +m
3
=
4
3)2)(m1)(mm(m
+
+
+
+ +
2
2)1)(m(m
++
–
1
1)(m
3
+
=
= (m
4
+ 3m
3
+ 2m
2
+ 3m
3
+ 9m
2
+ 6m + 2m
2
+ 6m + 4 – 4m
3
–
– 12 m
2
– 12m – 4) = (m
4
+ 2m
3
+ m
2
)/4 = m
2
(m
2
+ 2m + 1)/4 = 
     = m(m + 1)(m + 2)(m + 3) .
                 4

      С помощью формулы (7) легко найти сумму квадратов натуральных
чисел от 1 до m .

                         3.5.1. Сумма степенных рядов
     Перепишем формулу (7).
             1 + 1 + 22 + 2 + 32 + 3 +…+ m2 + m = m(m + 1)(m + 2) ;
                                                        3
           12 + 22 + 32 +…+ m2 + 1 + 2 + 3 +…+ m = m(m + 1)(m + 2) .
                                                           3
       Зная, что 1 + 2 + 3 +...+ m = m(m + 1) , а (12 + 22 + 32 +...
                                                 2
      2
...+ m ) – это искомое выражение, тогда
       12 + 22 + 32 +…+ m2 = m(m + 1)(m + 2) – m(m + 1) =
                                       3            2
            = m(m + 1)(2m + 4 - 3) = m(m + 1)(2m + 1) .              (9)
                         6                    6
       Аналогично, используя формулу (8), можно найти сумму кубов:
                                           2       2
                     13 + 23 + …+ m3 = m (m + 1) .                          (10)
                                              4
      6 + 24 + 60 + 120 + . . . + m (m+1) (m+2)= m(m + 1)(m + 2)(m + 3) ;
                                                            4
   23–2 + 33 –3 + 43–4 +53–5 + ... + (m+1)3 –(m+1) = m(m + 1)(m + 2)(m + 3) ;
                                                               4

13 + 23 + 33 + 43+ 53+... +(m+1)3 – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... +m+1)= =
m(m + 1)(m + 2)(m + 3) ;
              4
13 + 23 +33 + 43+ 53+... +m3 = m(m + 1)(m + 2)(m + 3) + + (m + 1)(m + 2) –
                                             4                        2
(m + 1)3 =
    1
= (m4 + 3m3 + 2m2 + 3m3 + 9m2 + 6m + 2m2 + 6m + 4 – 4m3 –
– 12 m2 – 12m – 4) = (m4 + 2m3 + m2 )/4 = m2(m2 + 2m + 1)/4 =



                                     61

Страницы