Компьютерная математика: Часть 1. Теория множеств и комбинаторика. Волченская Т.В - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

60
четаний равно
0
1-n
1
n
1-m
2-mn
m
1-mn
CCCС +++++
+
+
KK . С другой сторо-
ны, мы видим, что это число равно
m
mn
С
+
, т. е. утверждение доказано.
m
mn
0
1-n
1
n
1-m
2-mn
m
1-mn
СCCCС
−
++
=++++ K
. (4)
5. Заменяя n на n+1 и m на m+1 в соотношении (4), и помня, что
k-n
n
k
n
СС = , получаем, что
1n
mn
n
1-mn
n
2n
n
1n
n
n
СCCCС
+
+
+
++
=++++ K . (5)
Частными случаями формулы (5) при n =1, 2, 3 являются следующие
суммы рядов:
а) n =1:
11
m1
1
1-m1
1
21
1
11
1
1
СCCCС
+
+
+
++
=++++ K ;
1 + 2 +
… + m =
2
1)m(m
+
; (6)
2
1)m(m
1)!-(m 2!
1)!(m
С
2
1m
+
=
+
=
+
;
б) n = 2:
3
2m
2
1m
2
4
2
3
2
2
СCCCС
+
+
=++++ K ;
1 + 3 + 6 +
… +
2
1)m(m
+
=
1)!-(m3!
2)!(m
+
=
32
2)1)(mm(m
×
+
+
;
3
2)1)(mm(m
1)m(m433221
+
+
=+++×+×+× K ; (7)
в) аналогично для n =3:
4
3m
3
2m
3
6
3
5
3
4
3
3
СCCCCС
++
=+++++ K ;
1 + 4 + 10 + 20 +
… +
3!
2)1)(mm(m
+
+
=
1)!(m4!
3)!(m
−
+
.
Следовательно,
1 + 4 + 10 + 20 +
… +
321
2)1)(mm(m
×
×
+
+
=
4321
3)2)(m1)(mm(m
×
×
×
+
+
+
.
1
×2×3 + 2×3×4 + 2×3×2×5 + 2×3×4×5 +...+ m(m +1)(m +2) =
=1
×2×3 + 2×3×4 + 3×4×5 + 4×5×6 +...+ m(m +1)(m +2) = (8) 
четаний равно С m                   + Cm - 1       + K + C1n + K + C 0                   . С другой сторо-
                         n + m -1         n+m-2                                    n-1
ны, мы видим, что это число равно С m
                                    n + m , т. е. утверждение доказано.
             Сm           + Cm - 1         + K + C1n + C 0                   = Сm
                                                                                n −m .                 (4)
               n + m -1        n+m-2                              n-1
       5. Заменяя n на n+1 и m на m+1 в соотношении (4), и помня, что
С kn = С nn - k , получаем, что
            С nn + C n       + Cn         + K + Cn                 = С nn ++1m .                       (5)
                    n +1            n+2            n +m -1
    Частными случаями формулы (5) при n =1, 2, 3 являются следующие
суммы рядов:
     а) n =1:
      С1 + C1         + C1          + K + C1             = С1+1 ;
        1       1+1          1+ 2           1+ m - 1              1+ m

                            1 + 2 + … + m = m(m + 1) ;                                                 (6)
                                               2
      С 2m + 1 = (m + 1)! = m(m + 1) ;
                2! (m - 1)!       2

      б) n = 2:
      С2 + C2 + C2 + K + C2                      = С3         ;
        2       3        4                m +1         m +2

      1 + 3 + 6 + … + m(m + 1) = (m + 2)! = m(m + 1)(m + 2) ;
                         2      3!(m - 1)!      2×3

             1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + K + m(m + 1) = m(m + 1)(m + 2) ;                                  (7)
                                                          3
      в) аналогично для n =3:
      С3 + C3 + C3 + C3 + K + C3                        = С4             ;
        3       4        5      6                m +2             m +3

      1 + 4 + 10 + 20 + … + m(m + 1)(m + 2) = (m + 3)! .
                                  3!         4!(m − 1)!
     Следовательно,
      1 + 4 + 10 + 20 + … + m(m + 1)(m + 2) = m(m + 1)(m + 2)(m + 3) .
                               1× 2 × 3            1× 2 × 3 × 4

 1×2×3 + 2×3×4 + 2×3×2×5 + 2×3×4×5 +...+ m(m +1)(m +2) =
              =1×2×3 + 2×3×4 + 3×4×5 + 4×5×6 +...+ m(m +1)(m +2) =                                     (8)


                                                  60

Страницы