Компьютерная математика: Часть 1. Теория множеств и комбинаторика. Волченская Т.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

58
Решение. 3 пирожных из 6 можно выбрать
3
6
С
способами, т. е. всего
вариантов . . . . . 8 пирожных из имеющихся в наличии 6 различных сортов
можно выбрать лишь с повторениями, следовательно,
8
6
С
~
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ответ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение
5 дней подряд она выдаёт по одному фрукту. Сколькими способами это может
быть сделано (рис. 54)?
Решение. (2-й вариант) Напри-
мер, можно найти количество соче-
таний из 5 по 2, т. е. найти число ва-
риантов дней, когда выдаются ябло-
ки. Следовательно, всего
способов . .
. . . . . . . . . . .
Ответ: . . . . . . .
Р
ис. 54
3.5. Свойства сочетаний
1.
kn
n
k
n
CС
−
= (1)
Первое свойство непосредственно вытекает из формул
:
k)!-(nk!
n!
С
k
n
= ,
k!k)!-(n
n!
С
k-n
n
= .
2.
k
1-n
1-k
1-n
k
n
CCС += (2)
Доказательство:
Составим k-элементные сочетания из n элементов a
1
, a
2
, a
3,
...., a
n-1
, a
n
и
разобьем их на два класса:
1-й класс – сочетания, содержащие элемент a
n
;
2-й класс – сочетания, не содержащие элемент a
n
.
Если из любого сочетания 1-го класса откинуть элемент a
n
, то оста-
нется (k-1) сочетание из a
1
, a
2
, a
3
, ...., a
n-1
, их число
1-k
1-n
C .
Сочетания 2-го класса являются k-элементными сочетаниями, состав-
ленными из a
1
, a
2
, a
3
, ...., a
n-1
, их число С
k
n-1 .
Поскольку любое k-элементное
1 2 3 4 5
. . . 
       Решение. 3 пирожных из 6 можно выбрать С 3 способами, т. е. всего
                                                                 6
вариантов . . . . . 8 пирожных из имеющихся в наличии 6 различных сортов
можно выбрать лишь с повторениями, следовательно, С ~8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                                                                     6
      Ответ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
      3. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение
5 дней подряд она выдаёт по одному фрукту. Сколькими способами это может
быть сделано (рис. 54)?
      Решение. (2-й вариант) Напри-                  1 2 3 4     5
мер, можно найти количество соче-
таний из 5 по 2, т. е. найти число ва-
риантов дней, когда выдаются ябло-
ки. Следовательно, всего способов . .
...........
      Ответ: . . . . . . .
                                                     ...

                                                                 Р
                                                        ис. 54


                         3.5. Свойства сочетаний
        1. С kn = C nn − k                                                              (1)
       Первое свойство непосредственно вытекает из формул:
                                   n!                      n!
                       С kn =             , С nn - k =             .
                              k! (n - k)!              (n - k)! k!
                    2. С kn = C k - 1 + C k                                   (2)
                                n-1         n-1
      Доказательство:
      Составим k-элементные сочетания из n элементов a1, a2, a3, ...., an-1, an и
разобьем их на два класса:
      1-й класс – сочетания, содержащие элемент an ;
      2-й класс – сочетания, не содержащие элемент an .
      Если из любого сочетания 1-го класса откинуть элемент an, то оста-
нется (k-1) сочетание из a1, a2, a3, ...., an-1, их число C k - 1 .
                                                                 n-1
     Сочетания 2-го класса являются k-элементными сочетаниями, состав-
ленными из a1, a2, a3, ...., an-1 , их число Сkn-1 . Поскольку любое k-элементное



                                          58

Страницы