Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

178 Теория перестановок Гл. 3
Пример 18.4. Возведем перестановку из предыдущего примера
в степень s = −1001.
Сначала поделим с остатком число s = −1001 на порядок m = 12:
−1001 = 12 · (−84) + 7.
В силу предложения 18.2,
ϕ
−1001
= ϕ
7
.
Перестановка ϕ представлена как произведение трех нетривиаль-
ных циклов:
ϕ = (1, 3, 9, 6) (2, 7) (5, 10, 8).
Эти циклы попарно независимы и, следовательно, попарно ком-
мутируют. В силу замечания 18.1,
ϕ
7
= σ
7
1
σ
7
2
σ
7
3
.
Порядки циклических перестановок равны их длинам (по предло-
жению 18.4):
o(σ
1
) = 4; o(σ
2
) = 2; o(σ
3
) = 3.
Поделим с остатком показатель степени 7 на эти порядки:
7 = 1 · 4 + 3; 7 = 3 · 2 + 1; 7 = 2 · 3 + 1.
Снова воспользуемся "периодичностью степеней":
σ
7
1
= σ
3
1
= (1, 3, 9, 6)
3
= (1, 6, 9, 3);
σ
7
2
= σ
1
2
= (2, 7);
σ
7
3
= σ
1
3
= (5, 10, 8).
Окончательно получим:
ϕ
−1001
= ϕ
7
= (1, 6, 9, 3) (2, 7) (5, 10, 8) =
=
µ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6 7 1 4 10 9 2 5 3 8
.
178                   Теория перестановок                      Гл. 3

   Пример 18.4. Возведем перестановку из предыдущего примера
в степень s = −1001.
   Сначала поделим с остатком число s = −1001 на порядок m = 12:

                       −1001 = 12 · (−84) + 7.

  В силу предложения 18.2,

                             ϕ−1001 = ϕ7 .

  Перестановка ϕ представлена как произведение трех нетривиаль-
ных циклов:
                  ϕ = (1, 3, 9, 6) (2, 7) (5, 10, 8).
  Эти циклы попарно независимы и, следовательно, попарно ком-
мутируют. В силу замечания 18.1,

                             ϕ7 = σ17 σ27 σ37 .

  Порядки циклических перестановок равны их длинам (по предло-
жению 18.4):
                o(σ1 ) = 4; o(σ2 ) = 2; o(σ3 ) = 3.
  Поделим с остатком показатель степени 7 на эти порядки:

             7 = 1 · 4 + 3; 7 = 3 · 2 + 1; 7 = 2 · 3 + 1.

  Снова воспользуемся "периодичностью степеней":

                 σ17 = σ13 = (1, 3, 9, 6)3 = (1, 6, 9, 3);

                           σ27 = σ21 = (2, 7);
                         σ37 = σ31 = (5, 10, 8).
  Окончательно получим:

             ϕ−1001 = ϕ7 = (1, 6, 9, 3) (2, 7) (5, 10, 8) =
               µ                                         ¶
                 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
             =                                             .
                 6 7 1 4 10 9 2 5 3 8

Страницы