Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 177 стр.

§ 18     Степени перестановки. Порядок перестановки             177

Множества Gj попарно не пересекаются и в объединении составляют
все множество X = {1, 2, ..., n}.
   При возведении перестановки в произвольную целую степень s
можно воспользоваться коммутированием σj (j = 1, ..., m) и свой-
ством (18.6):
                          ϕs = σ1s σ2s . . . σm
                                              s
                                                .         (18.19)
  Ясно, что возведение перестановок в степень не расширяет их об-
ласти действия, и следовательно, независимые перестановки оста-
нутся таковыми и после возведения в степень. Таким образом, пе-
рестановки σjs будут независимыми (хотя уже не обязательно будут
циклическими).
  Столь же очевидно, что произведение нескольких независимых
перестановок может быть тождественной перестановкой в том и
только том случае, когда все сомножители этого произведения будут
тождественными. Поэтому

               [ ϕs = ε ] ⇐⇒ [ (∀j = 1, ..., m)(σjs = ε) ].   (18.20)

  В силу предложений 18.3 и 18.1, равенство σjs = ε равносильно
делимости sj |s. Таким образом,

                [ ϕs = ε ] ⇐⇒ [ (∀j = 1, ..., m)(sj |s) ].    (18.21)

  Правая часть эквивалентности (18.21) равносильна утверждению,
что s является общим кратным чисел sj (j = 1, ..., m), а это, в силу
определения НОК, равносильно тому, что s делится на q.
  Итак,
                      [ ϕs = ε ] ⇐⇒ [ q|s ].                  (18.22)
  Согласно предложению 18.1, утверждение (18.22) равносильно то-
му, что o(ϕ) = q. ¤
   Пример 18.3. Вернемся к примеру 17.1. Данная там переста-
новка ϕ ∈ S10 разложена в произведение независимых циклов (один
из которых — тривиальный). Значит,

                     o(ϕ) = НОК(4, 2, 1, 3) = 12.

  Разумеется, единички (длины тривиальных циклов) под знаком
НОК можно не писать.