Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 175 стр.

§ 18      Степени перестановки. Порядок перестановки              175

  Предложение 18.2. 1. Значения степеней перестановки повто-
ряются с периодом, равным порядку m этой перестановки:

                  [ ϕs = ϕt ] ⇐⇒ [ s ≡ t ( mod m ) ].           (18.14)

   2. Перестановки

                       ϕ0 = ε, ϕ, ϕ2 , . . . , ϕm−1

попарно различны.

   Доказательство. 1. Равенство ϕs = ϕt домножением на ϕ−s сво-
дится к равносильному равенству ϕt−s = ε, которое, в силу предло-
жения 18.1, равносильно делимости m|t − s, или, что то же самое
(см. сводку информации из теории чисел в предисловии), сравнимо-
сти s ≡ t ( mod m ).
   2. Если s, t ∈ {1, 2, ..., m − 1} и, например, s < t, то натуральное
число t − s не может делиться на m, и следовательно, ϕs 6= ϕt . ¤

  18.3. Степени и порядок для циклической перестанов-
ки. Пусть
                    σ = (i1 , i2 , . . . , ik ) (18.15)

— цикл длины k (2 6 k 6 n). Напомним, что он оставляет непо-
движными все номера, не входящие в цикл, а всякий номер, входя-
щий в цикл (кроме последнего), переводит в соседний справа номер
(последний номер переходит в первый). [Говорят, что перестановка
(18.15) осуществляет "циклический сдвиг" на одну позицию вправо.]
   Ясно, что перестановка σ s (s > 2) будет осуществлять цикличе-
ский сдвиг элементов множества {i1 , i2 , ..., ik } на s единиц вправо.
(Номера, не входящие в это множество, будут оставаться на месте.)
   При s = k (и не раньше!) все номера окажутся неподвижными,
т. е. получится σ k = ε и σ s 6= ε при 1 6 s 6 k − 1. Следовательно,

                               o(σ) = k.                        (18.16)

   Тем самым доказано

   Предложение 18.3. Порядок цикла равен его длине. ¤