Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 174 стр.

174                  Теория перестановок                     Гл. 3

  Предложение 18.1. Пусть ϕ ∈ Sn . Тот факт, что

                            o(ϕ) = m,                       (18.10)

равносилен следующему утверждению: для целого числа s равен-
ство
                           ϕs = ε                     (18.11)
справедливо тогда и только тогда, когда m|s.
  Доказательство. 1. Пусть перестановка ϕ имеет порядок m, т. е.
выполняется (18.10).
  Целое число s поделим с остатком на m (см. во введении сводку
информации из теории чисел), т. е. найдем такие q, r ∈ Z, что

                     s = q · m + r; 0 6 r < m.              (18.12)

  Теперь равенство (18.11) можно записать в виде

                            ϕm·q+r = ε,

что с учетом свойств (18.4) и (18.5) будет равносильно равенству

                           (ϕm )q ϕr = ε.

  В силу (18.10), имеем ϕm = ε, и значит,

                              ϕr = ε.                       (18.13)

  Последнее равенство не может выполняться при r > 0, т. к. это
противоречило бы определению порядка.
  Значит, равенство (18.13) [и вместе с ним равенство (18.11)] рав-
носильно обращению остатка в нуль (r = 0) или, другими словами,
факту делимости нацело (s = q · m, т. е. m|s).
  2. Пусть справедливо утверждение

                       [ ϕs = ε ] ⇐⇒ [ m|s ].

  Докажем, что m является порядком ϕ.
  Поскольку m|m истинно, то ϕm = ε. Далее, ϕs = ε равносильно
m|s, что для натуральных s влечет m 6 s, т. е. m является мини-
мальным из натуральных показателей, дающих единичную степень
для ϕ. Значит, справедливо (18.10). ¤