Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 172 стр.

172                    Теория перестановок                  Гл. 3

   Замечание 18.1. Из формулы (18.4) вытекает, что степени одной
и той же перестановки коммутируют:

                             ϕs ϕt = ϕt ϕs .

  Есть еще одно привычное свойство степеней:

                        (ϕψ)s = ϕs ψ s ; s ∈ Z.             (18.6)

  Но это свойство включает в себя коммутативный закон для ум-
ножения (точнее, оно равносильно коммутированию перестановок ϕ
и ψ). В самом деле, при s = 2 формула (18.6) принимает вид

                            (ϕψ)2 = ϕ2 ψ 2 .

  Или (с учетом ассоциативности, без скобок):

                            ϕψϕψ = ϕϕψψ,

что (умножением слева на ϕ−1 и справа на ψ −1 ) сводится к равно-
сильному равенству
                          ϕψ = ψϕ.                          (18.7)

   Как мы помним из п. 16.7, перестановки коммутируют не всегда.
Поэтому формула (18.6) выполняется (для всех s ∈ Z) также не
всегда, а в том и только том случае, когда выполняется (18.7).
   Пример 18.1. Чтобы возвести перестановку ϕ ∈ Sn , заданную
двустрочной записью, в целую положительную степень s, совсем
не обязательно выписывать s сомножителей, равных ϕ. Достаточ-
но по данной записи "проследить судьбу" каждого из номеров i ∈
{1, 2, ..., n} за s шагов.
   Пусть                   µ             ¶
                             1 2 3 4 5 6
                      ϕ=                   ∈ S6
                             5 2 4 6 3 1

и требуется вычислить ϕ7 .
   Возьмем i = 1; за 7 шагов получим:

                   ϕ    ϕ     ϕ    ϕ    ϕ      ϕ   ϕ
                 1 7→ 5 7→ 3 7→ 4 7→ 6 7→ 1 7→ 5 7→ 3,