Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 170 стр.

170                      Теория перестановок                          Гл. 3

  В силу ассоциативности умножения, произведения можно запи-
сывать без скобок, указывающих на порядок действий:

               ϕψ = (2, 7, 3, 8, 4) (1, 5, 2) (8, 6, 1, 2) (1, 2).

   Найдем двустрочную запись для ϕψ.
   Пусть i = 1. Применим самую правую перестановку — транспо-
зицию (1, 2), она отобразит 1 в 2. Применим второй справа цикл
(8, 6, 1, 2), он отобразит 2 в 8. Подействуем третьим справа циклом
(1, 5, 2), в нем 8 отсутствует, значит, этот цикл оставляет 8 на месте.
И наконец, четвертый цикл (2, 7, 3, 8, 4) отобразит 8 в 4. В итоге 1
отобразится в 4. Переходим к i = 2 и т. д.
   Дозаполните двустрочную запись
                        µ                            ¶
                          1 2 3 4 5 6 7 8 9
                   ϕψ =                                .
                          4 ? ? ? ? ? ? ? ?

  17.3. Декремент перестановки. Для всякой перестановки мо-
жет быть определена особая числовая характеристика, связанная с
разложением на независимые циклы.
   Определение 17.3. Декрементом перестановки ϕ ∈ Sn называ-
ется (целое неотрицательное) число

                               δ(ϕ) = n − m,                         (17.10)

где m — количество циклов в разложении (17.5).
  Замечание 17.4. В формуле (17.10) учитываются все циклы, в том
числе и тривиальные. В частности, для тождественной перестановки
ϕ = ε (и только для нее) имеет место равенство δ(ϕ) = 0.
   Замечание 17.5. Если среди циклов в разложении (17.5) имеется
l нетривиальных:
                         ϕ = σ1 σ2 . . . σl ,             (17.11)
а остальные m − l циклов — тривиальные, то степень перестановки
n складывается из суммы длин нетривиальных циклов и количества
тривиальных циклов:
                                  l
                                  X
                            n=          sj + m − l,
                                  j=1