Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 168 стр.

168                   Теория перестановок                     Гл. 3

   Ни один из элементов, не вошедших в G1 , не может перейти ни
в какой из элементов, входящих в G1 , т. к. это противоречило бы
биективности ϕ. Поэтому с j1 начнется новый цикл

                        σ2 = (j1 , j2 , . . . , js2 )

некоторой длины s2 , независимый с циклом σ1 .
  Если s1 + s2 < n, то процесс продолжается аналогично, вплоть до
нахождения последнего цикла

                       σm = (k1 , k2 , . . . , ksm )

некоторой длины sm .
  Все найденные циклы по построению попарно независимы. Объ-
единение орбит Gj должно совпадать с множеством всех номеров:

                      G1 ∪ G2 ∪ · · · ∪ Gm = X;

т. е. сумма длин σj должна равняться степени перестановки (но это —
с учетом тривиальных циклов!):

                       s1 + s2 + · · · + sm = n.

    Каждая из орбит Gj (j = 1, ..., m) инвариантна относительно ϕ,
причем действие ϕ на элементах Gj совпадает с действием цикла
σj . Далее, цикл σj на множестве Gi (i 6= j) действует тождественно;
попарная независимость циклов σj влечет их попарное коммутиро-
вание (см. предложение 16.1).
    Докажем теперь справедливость разложения (17.5). Возьмем лю-
бой элемент (номер) p ∈ X. Перестановка ϕ [левая часть (17.5)] при-
нимает на этом элементе значение ϕ(p). Вычислим значение на p
правой части. Элемент p принадлежит одной и только одной из ор-
бит. Пусть, скажем, p ∈ Gj . Циклы σi (в силу их коммутирования)
можно применять в любом порядке. Ни один из них, кроме σj , не
сдвинет элемент p с места; и только под действием σj этот элемент
перейдет в
                           σj (p) = ϕ(p),
т. е. значение правой части формулы (17.5) на произвольном эле-
менте p ∈ X будет таким же, как и значение левой части. Равенство
перестановок (17.5) доказано.