Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 169 стр.

§ 17    Разложение перестановки на независимые циклы                   169

   Остается обосновать единственность полученного разложения (с
точностью до порядка сомножителей).
   Пусть есть еще одно разложение такого же типа, что и (17.5), и
пусть p — произвольный элемент множества X.
   Тогда p принадлежит области действия одного и только одного из
циклов первого разложения и аналогично — одного из циклов вто-
рого разложения. Как выше объяснялось, отсюда будет следовать
совпадение указанных циклов.
   В качестве логического упражнения доведите до конца рассужде-
ние, приводящее к выводу о совпадении двух разложений. (Указа-
ние: сначала объясните, почему два разложения обязательно имеют
одинаковое количество сомножителей.) После этого можно будет
считать, что доказательство теоремы завершено. ¤
   Замечание 17.3. По ходу доказательства уже отмечалось, что сре-
ди сомножителей, входящих в разложение (17.5), могут встречаться
циклы длины 1, равные ε. Их можно исключить и считать, что в
(17.5) присутствуют лишь нетривиальные циклы σ1 , σ2 , . . . , σl (но то-
гда сумма их длин s1 + s2 + ... + sl не обязательно будет равняться n).
Единственным исключением при таком подходе будет перестановка
ϕ = ε; в ее разложении участвуют лишь тривиальные циклы:

                              ε = (1)(2)...(n).

  Пример 17.1. Разложим заданную перестановку на нетривиаль-
ные независимые циклы:
                 µ                                             ¶
                  1 2 3 4 5 6 7 8 9                       10
             ϕ=                                                    =
                  3 7 9 4 10 1 2 5 6                      8
              =(1, 3, 9, 6) (2, 7) (4) (5, 10, 8) =
               =(1, 3, 9, 6) (2, 7) (5, 10, 8).


   Пример 17.2. Если данные перестановки разложены на циклы
(даже не обязательно независимые), то их можно перемножить, "сле-
дя за судьбой" каждого из номеров и продвигаясь справа налево.
   Пусть даны две перестановки ϕ, ψ ∈ S9 :

                         ϕ = (2, 7, 3, 8, 4) (1, 5, 2);

                           ψ = (8, 6, 1, 2) (1, 2).