Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 171 стр.

§ 18     Степени перестановки. Порядок перестановки          171

и следовательно,
                                    l
                                    X
                           δ(ϕ) =         sj − l,          (17.12)
                                    j=1

т. е. декремент перестановки ϕ равен разности между суммой длин
нетривиальных циклов в разложении ϕ и количеством этих циклов.



              § 18. Степени перестановки.
                   Порядок перестановки
  18.1. Целые степени перестановки и их свойства. Пусть
ϕ ∈ Sn . Возведение перестановки ϕ в натуральную степень опреде-
ляется по индукции:

                   ϕ1 = ϕ; ϕs+1 = ϕϕs ; s = 1, 2, ...       (18.1)

   Отдельно определяется нулевая степень:

                                ϕ0 = ε.                     (18.2)

  Отрицательные степени вводятся с помощью обратной переста-
новки:
                   ϕ−s = (ϕ−1 )s ; s = 1, 2, ...      (18.3)
  Целые степени обладают двумя привычными свойствами, знако-
мыми по школьному курсу математики. (Но, разумеется, там они
относились не к перестановкам, а к положительным действительным
числам и строго не доказывались.) Вот эти свойства:

                             ϕs ϕt = ϕs+t ;                 (18.4)

                             (ϕs )t = ϕst ,                 (18.5)
где ϕ — произвольная перестановка; s, t — любые целые числа.
   Строгое доказательство формул (18.4) и (18.5) может быть полу-
чено, исходя из ассоциативного закона для умножения перестановок
с помощью метода математической индукции. Если вы "дозре-
ли" до осознания необходимости таких доказательств, то загляните
в учебник [2, гл. 4, § 1, 2] (там эта формула доказывается в более
общей ситуации — для элементов произвольных групп).