Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 18 Степени перестановки. Порядок перестановки 173
таким образом, ϕ
7
(1) = 3. Для неподвижного номера i = 2 сразу
видим: ϕ
7
(2) = 2. Заполните до конца двустрочную запись:
ϕ
7
=
µ
1 2 3 4 5 6
3 2 ? ? ? ?
.
При возведении в отрицательную степень надо начинать с номера
i во второй строке и идти "против стрелок". Доведите до конца
вычисления:
ϕ
−7
=
µ
1 2 3 4 5 6
? 2 1 ? ? ?
.
18.2. Порядок перестановки. Поскольку множество S
n
всех
перестановок степени n содержит лишь конечное число (а именно
n!) элементов, то среди степеней {ϕ
k
}
k∈Z
заданной перестановки ϕ
обязательно будут одинаковые. Следовательно, найдутся k, l ∈ Z
(пусть, скажем, k < l), такие, что ϕ
k
= ϕ
l
.
Домножим последнее равенство на ϕ
−k
(не важно, с какой сторо-
ны; см. замечание 18.1). С учетом свойства (18.4) получим:
ϕ
l−k
= ε.
Таким образом, найдется положительная степень перестановки
ϕ, равная тождественной перестановке ε. Можно выбрать наимень-
шую из таких степеней.
Определение 18.1. Наименьшая из целых положительных сте-
пеней s, таких, что ϕ
s
= ε, называется порядком перестановки ϕ ∈ S
n
и обозначается
o(ϕ) = min{ s ∈ N : ϕ
s
= ε }. (18.8)
Замечание 18.2. Обозначение o(ϕ) происходит от слова "order".
Используется еще обозначение |ϕ| (связанное с аналогичным обо-
значением для мощности множества; см. замечание 16.4).
Замечание 18.3. Совершенно очевидно следующее свойство по-
рядка:
[ o(ϕ) = 1 ] ⇐⇒ [ ϕ = ε ]. (18.9)
Замечание 18.4. Перескажем определение 18.1 иначе: равенство
o(ϕ) = m, где m ∈ N, равносильно тому, что, во-первых, ϕ
m
= ε, а
во-вторых, из равенства ϕ
s
= ε для некоторого s ∈ N следует m 6 s.
Ниже, в предложении 18.1, последнее утверждение будет еще уто-
чнено.
§ 18     Степени перестановки. Порядок перестановки            173

таким образом, ϕ7 (1) = 3. Для неподвижного номера i = 2 сразу
видим: ϕ7 (2) = 2. Заполните до конца двустрочную запись:
                         µ                  ¶
                      7    1 2 3 4 5 6
                     ϕ =                      .
                           3 2 ? ? ? ?
   При возведении в отрицательную степень надо начинать с номера
i во второй строке и идти "против стрелок". Доведите до конца
вычисления:              µ                 ¶
                    −7     1 2 3 4 5 6
                   ϕ =                       .
                           ? 2 1 ? ? ?

   18.2. Порядок перестановки. Поскольку множество Sn всех
перестановок степени n содержит лишь конечное число (а именно
n!) элементов, то среди степеней {ϕk }k∈Z заданной перестановки ϕ
обязательно будут одинаковые. Следовательно, найдутся k, l ∈ Z
(пусть, скажем, k < l), такие, что ϕk = ϕl .
   Домножим последнее равенство на ϕ−k (не важно, с какой сторо-
ны; см. замечание 18.1). С учетом свойства (18.4) получим:

                             ϕl−k = ε.
   Таким образом, найдется положительная степень перестановки
ϕ, равная тождественной перестановке ε. Можно выбрать наимень-
шую из таких степеней.
   Определение 18.1. Наименьшая из целых положительных сте-
пеней s, таких, что ϕs = ε, называется порядком перестановки ϕ ∈ Sn
и обозначается
                     o(ϕ) = min{ s ∈ N : ϕs = ε }.            (18.8)

  Замечание 18.2. Обозначение o(ϕ) происходит от слова "order".
Используется еще обозначение |ϕ| (связанное с аналогичным обо-
значением для мощности множества; см. замечание 16.4).
  Замечание 18.3. Совершенно очевидно следующее свойство по-
рядка:
                   [ o(ϕ) = 1 ] ⇐⇒ [ ϕ = ε ].          (18.9)
   Замечание 18.4. Перескажем определение 18.1 иначе: равенство
o(ϕ) = m, где m ∈ N, равносильно тому, что, во-первых, ϕm = ε, а
во-вторых, из равенства ϕs = ε для некоторого s ∈ N следует m 6 s.
   Ниже, в предложении 18.1, последнее утверждение будет еще уто-
чнено.

Страницы