Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 194 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

194 Теория перестановок Гл. 3
Знак перестановки ϕ ∈ S
n
можно определить формулой
sgn(ϕ) =
Y
{i,j}⊆X
i6=j
sign
µ
j − i
ϕ(j) − ϕ(i)
, (21.6)
где произведение берется по всем двухэлементным подмножествам
{i, j} множества X = {1, 2, ..., n} (это произведение содержит C
2
n
со-
множителей) и где аббревиатура sign обозначает известную из мате-
матического анализа функцию знак действительного числа x:
sign(x) =
−1, если x<0;
0, если x=0;
1, если x>0.
(Иная аббревиатура sgn для знака перестановки специально вы-
брана слегка отличной от более привычного sign.)
Поясним, что в (21.6) произведение берется по неупорядоченным
наборам {i, j}, т. е. считается, что {i, j} = {j, i}. Однако, поскольку
знак дроби не изменится при замене i на j и наоборот, это определе-
ние является корректным.
Для "любознательных читателей" будет полезным упражнением
доказательство того, что третий способ определения знака переста-
новки эквивалентен двум предыдущим.
А есть еще и четвертый способ, близкий по идее к третьему:
sgn(ϕ) =
Y
16i<j6n
j − i
ϕ(j) − ϕ(i)
. (21.7)
В формуле (21.7) произведение берется по возрастающим после-
довательностям i, j; символ sign становится излишним. (Почему?)
§
§
§ 22. Вычисления с перестановками
в системе Maple
22.1. Форматы задания перестановок. В математической си-
стеме Maple вычисления с перестановками можно осуществлять в
рамках пакета group, который требуется подгрузить командой
> with ( group ) ;
194                    Теория перестановок                            Гл. 3

  Знак перестановки ϕ ∈ Sn можно определить формулой

                             Y              µ                 ¶
                                                   j−i
                sgn(ϕ) =             sign                         ,   (21.6)
                                                ϕ(j) − ϕ(i)
                           {i,j}⊆X
                              i6=j


где произведение берется по всем двухэлементным подмножествам
{i, j} множества X = {1, 2, ..., n} (это произведение содержит Cn2 со-
множителей) и где аббревиатура sign обозначает известную из мате-
матического анализа функцию знак действительного числа x:
                                
                                 −1, если x<0;
                                
                   sign(x) =       0,    если x=0;
                                
                                
                                   1,    если x>0.
  (Иная аббревиатура sgn для знака перестановки специально вы-
брана слегка отличной от более привычного sign.)
  Поясним, что в (21.6) произведение берется по неупорядоченным
наборам {i, j}, т. е. считается, что {i, j} = {j, i}. Однако, поскольку
знак дроби не изменится при замене i на j и наоборот, это определе-
ние является корректным.
  Для "любознательных читателей" будет полезным упражнением
доказательство того, что третий способ определения знака переста-
новки эквивалентен двум предыдущим.
  А есть еще и четвертый способ, близкий по идее к третьему:
                                 Y             j−i
                    sgn(ϕ) =                            .             (21.7)
                                            ϕ(j) − ϕ(i)
                               16i with ( group ) ;

Страницы