ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ным критерием Вальда, причем для случаев, когда нарушения могут возни-
кать не только в матрице наблюдения H , но и в других матрицах системы.
Приложение: Доказательство Теоремы 2.1
Лемма 1 Если ξ ∼ N(0; 1) , тогда E
ξ
2k
= (2k − 1)!! .
Доказательство.
E
ξ
2k
=
1
√
2π
+∞
Z
−∞
x
2k
exp
n
−
x
2
2
o
dx =
2
k
√
π
∞
Z
0
t
k−
1
2
exp{−t}dt =
=
2
k
√
π
Γ
k +
1
2
=
2
k
√
π
·
k −
1
2
· Γ
k −
1
2
=
= (2k − 1) · (2k − 3) · . . . · 3 ·1 .
Доказательство теоремы. Для гипотезы H
0
µ
i
∼ N(0; I) – гауссовская
белая последовательность, где I – единичная матрица размера m ×m . Обо-
значим j -й элемент µ
i
через µ
ji
, тогда
ξ ,
k
X
i=1
m
X
j=1
µ
2
ji
∼ F
χ
2
(mk)
(x) ,
где F
χ
2
(mk)
(x) – распределение χ
2
с mk степенями свободы. Когда k →
→ ∞, величина ξ распределена нормально с параметрами mk и 2mk ,
F
χ
2
(mk)
(x) ; N(mk; 2mk) . Из (2.34) имеем
S
k
=
p
mk/2
1
mk
ξ − 1
,
следовательно, L(S
k
) ; N(0; 1) .
Для H
1
имеем
C
µ
, E
µ
i
µ
T
i
= L
−1
0
C
1
L
−T
0
= I + L
−1
0
(C
1
− C
0
)L
−T
0
= I + ∆ ,
m
s
, E {s
k
} =
p
m/2 [(1/m) tr{C
µ
}−1] = (2m)
−1/2
tr{∆} .
Пусть [C
µ
]
jk
– jk -й элемент матрицы C
µ
, тогда [C
µ
]
jk
= σ
j
σ
k
ρ
jk
, где σ
2
j
, σ
2
k
суть дисперсии j -го и k -го элементов вектора µ
i
соответственно, а ρ
jk
–
коэффициент корреляции между ними. Из (2.34) следует, что
D
s
=
1
2m
h
E
n
µ
T
i
µ
i
2
o
−
E
µ
T
i
µ
i
2
i
.
При помощи леммы 1 и непосредственных вычислений получаем
E
µ
4
i,k
= 3σ
4
k
, E
µ
2
ji
µ
2
ki
= σ
2
j
σ
2
k
1 + 2ρ
2
jk
,
60
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
