ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Индивидуальные задания 307
а) Доказать, что система имеет нетривиальные решения;
б) найти ее фундаментальную систему решений;
в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и какое-либо
частное решение.
25.8. Дана система линейных неоднородных уравнений
x
1
+ x
2
− x
3
+ 2x
4
+ x
5
= −1,
x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
−x
5
= 3,
x
1
− x
2
− x
3
+ 2x
4
−x
5
= 3,
x
1
+ x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ x
5
= −1.
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
25.9. Показать, что решение однородной системы из примера 25.7 образует линей-
ное пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
25.10. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пересечением
гиперплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 25.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость проходит,
а также направляющее подпространство плоскости.
25.11. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из задачи 25.1.
25.12. Найти ортогональную составляющую и ортогональную проекцию вектора
~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи
25.11.
25.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
= (3, 1, 2),
~
f
2
= (2, 0, 3),
~
f
3
= (1, 0, 2), ~x = (3, 5, −6).
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
25.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (4x
3
+ 2x
2
, −x
3
− 2x
1
, x
2
− 4x
1
),
b
G
2
~x = (2x
3
, −x
2
, x
1
).
а) Доказать, что
b
G
1
— линейный оператор;
б) найти матрицы операторов
b
G
1
и
b
G
2
в базисе {~e
i
};
в) указать закон, по которому оператор (
b
G
1
b
G
2
−
b
G
2
) действует на вектор ~x;
г) найти матрицу оператора
b
G
2
в базисе {
~
f
i
} из предыдущей задачи 25.13.
25.15. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
G
1
=
1 1
−5 −3
, G
2
=
5 0 −4
−2 2 −2
−4 0 5
!
.
25.16. Пусть плоскость π
2
задается первыми двумя уравнениями из задачи 25.5.
Найти:
а) расстояние от этой плоскости до начала координат;
б) уравнение плоскости, проходящей через начало координат и являющейся ортого-
нальным дополнением π
2
.
