Техника высоких напряжений. Закарюкин В.П. - 103 стр.

Ток i и напряжение u являются функциями координаты и времени,
i = i ( x, t ) , u = u ( x, t ) , и при приросте переменной x на малую величину dx
они прирастают на малые величины di и du. Можно считать, что парамет-
ры схемы замещения пропорциональны длине dx, то есть

      dL = L0 dx, dC = C0 dx,

где величины L0 (Гн/км), C0 (Ф/км), называемые первичными параметра-
ми линии, не зависят от координаты x в случае однородной линии, то есть
такой линии, у которой провод одинаков по всей длине и параллелен по-
верхности земли. Эти параметры не зависят обыкновенно также и от вре-
мени t. Смысл параметров следующий: L0 - это индуктивность линии дли-
ной 1 км, заземленной на конце, а C0 - емкость изолированной от земли
линии длиной 1 км.
      Уравнения по законам Кирхгофа для малого участка dx по рис. 14.2б
выглядят следующим образом:

                  ∂i                      ∂u
      u = L0 dx      + u + du , i = C0 dx    + i + di ,
                  ∂t                      ∂t

что после простейших преобразований приводит к системе дифференци-
альных уравнений в частных производных, называемых телеграфными
уравнениями длинной линии:

          ∂u     ∂i     ∂i      ∂u
      −      =L     ; −    =C      .
          ∂x   0 ∂t     ∂x    0 ∂t

     Эти уравнения решаются путем дифференцирования первого урав-
нения по переменной x, а второго уравнения – по переменной t:

        ∂ 2u      ∂2i        ∂ 2i       ∂2u
      −      =L         ; −         =C      ,
           2   0 ∂ t ∂x     ∂ x ∂ t    0 2
        ∂x                              ∂t

откуда после подстановки второго уравнения в первое (для непрерывных
функций порядок дифференцирования значения не имеет) получается
уравнение

      ∂ 2u        ∂ 2u 1 ∂ 2u          2     1
           = L C      =        , где v   =      .
      ∂x2     0 0 ∂t 2 v2 ∂t 2             L C
                                            0 0


                                            103