Численные методы для физиков. Нелинейные уравнения и оптимизация. Зайцев В.В - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

49
которое представляет собой необходимое условие экстремума функции.
Однако на практике способ решения оптимизационной задачи путем
сведения ее к нелинейному уравнению используется сравнительно редко,
так как он требует вычисления производной.
С другой стороны, нелинейное уравнение 0)( =
x
g
можно решить,
найдя точку нулевого минимума функции
)()(
2
xgxf = .
Этот прием часто используется в вычислительной практике.
3.3. Метод последовательной параболической интерполяции
Итерационный алгоритм метода Ньютона был разработан путем
квадратичной аппроксимации функции с использованием значений ее двух
первых производных. Еще один итерационный метод, основанный на
квадратичной интерполяции, но использующий только значения
минимизируемой функции, можно получить следующим образом.
Предположим, что функция )(
x
f
унимодальна. Выберем три
произвольных значения аргумента
321
и, xxx и проведем квадратичную
интерполяцию )(
x
f
по узловым точкам
()( )( )
)(,и)(,,)(,
332211
xfxxfxxfx .
Пусть значение
4
x минимизирует интерполяционный полином. Теперь
исключим из рассмотрения значение
1
x и второй шаг итераций проведем с
узловыми точками
()()()
)(,и)(,,)(,
443322
xfxxfxxfx . Продолжая итера-
ционный процесс, на шаге с номером 2−
k
имеем узловые точки
()()()
)(,и)(,,)(,
1122 kkkkkk
xfxxfxxfx
−−−−
. Их интерполирует полином
Лагранжа
,
))((
))((
))((
))((
))((
))((
)(
12
12
121
2
1
212
1
22
−−
−−
−−−
−
−
−−−
−
−
−−
−−
+
+
−−
−−
+
−−
−−
=
kkkk
kk
k
kkkk
kk
k
kkkk
kk
k
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
fxP
где )(
ii
xff = . Значение
1+k
x , минимизирующее этот полином, найдем,
решив уравнение 0)(
12
=
′
+k
xP :
)()()(
)()()(
2
1
212112
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
−−−−−−
−−−−−−
+
−+−−−
−+−−−
=
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
k
xxfxxfxxf
xxfxxfxxf
x
. (3.2)
Вычисления по формуле (3.2) заканчиваются, когда модуль разности
между двумя последовательными приближениями достигает заданной
малой величины. Описанный алгоритм называется
последовательной

Страницы