Численные методы для физиков. Нелинейные уравнения и оптимизация. Зайцев В.В - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

71
....
2
1
),(),(
2
2
2
2
2
12
2
12
21
2
21
2
1
2
2
1
2
2
1
1
)(
2
)(
12
)(
21
)(
1
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+=++
x
f
xx
f
xx
f
x
f
x
f
x
f
xxfxxf
kkkk
ξξξξξξ
ξξξξ
(4.4 а)
Здесь все производные вычисляются в точке
)(k
X . Выражение (4.4 а)
можно записать в векторно-матричной форме, если ввести в рассмотрение
квадратную матрицу
H (матрицу Гессе) с элементами
ji
ji
xx
f
h
∂∂
∂
=
2
,
и вектор-столбец смещений
T
),(
21
ξξ
=ξ :
...)(
2
1
)()()( ++∇+=+ ξxHξxξxξx
(k)T(k)T(k)(k)
fff . (4.4 б)
Несмотря на то, что этот результат получен для двумерного случая, его
векторно-матричная форма (4.4 б) сохраняется и для n измерений.
Если в выражении (4.4) сохранить лишь слагаемые до второго порядка
по
ξ
включительно, то это означает, что истинную целевую функцию
)(
x
f
мы заменяем квадратичной формой
ξxHξxξxξ )(
2
1
)()()(
(k)T(k)T(k)
ffQ +∇+= .
Чтобы получить новое приближение к точке минимума целевой функции,
минимизируем )(
ξ
Q , вычисляя ее градиент по
ξ
:
ξxHxξ )()()(
(k)(k)
fQ +∇=∇ ,
и приравнивая его к нулю. В результате получаем систему линейных
алгебраических уравнений относительно компонент вектора
∗
ξ – вектора
смещения из точки текущего приближения
)(k
X в точку нового
приближения
)1( +k
X :
)()(
(k)(k)
f xξxH −∇=
∗
. (4.5)
Уравнения (4.5) называются уравнениями Ньютона. Их решение позволяет
определить новое приближение как
∗
+
+= ξxx
)()1( kk
. (4.6)
Если решение уравнений Ньютона (4.5) формально записать через
матрицу
1
)(
−(k)
xH , обратную матрице Гессе, то
)()(
1 (k)(k)
f xxHξ ∇−=
−
∗
,

Страницы