Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

30
0
(,) () ().ixz Lz I x
∈
I
Ограничение с номером (,)ixz является активным в исходной точке
x
.
Если же
0
() () 0,Lz I x
=
/I
и справедливо условие (17), то
(, ) 0.
x
z
λ
>
В этом случае
00
() ( (, )).
I
xIx xzz
λ
⊂+
Активными для вектора (, )
x
xzz
λ
+
будут не только ограничения с
номерами из
0
()
I
x , но и с другими (одним или больше) номерами. В
частности, активным становится ограничение с номером (,)ixz, не
входящее в
0
()
I
x .
Если условие (17) не выполняется
() 0,
L
z
/ (20)
то направление
z называется рецессивным. При перемещении с любым,
сколь угодно большим шагом из точки
x
X
∈
по данному направлению z
будем оставаться в полиэдре
X
. Причем это свойство не зависит от
исходной точки
x
X∈ . Тривиальным случаем рецессивных направлений
является также нулевой вектор.
Задание 7. Доказать, что множество рецессивных ненулевых
направлений для полиэдра
X
совпадает с затупленным (образованным
исключением нулевого вектора) конусом решений однородной системы
линейных неравенств, т.е. с множеством
/{0}.WW=
Пример 2. На рис. 3 представлено множество решений системы
линейных неравенств (16). Вектор
2
0.5
x
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
является одним из решений
данной системы. Для направления
1
0
z
−
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
множество ()
L
z не пусто, оно
состоит из номеров двух первых в (16) ограничений. В данном случае
(, ) 1.5
x
z
λ
= . Активным для вектора
11
(, )
x
xz z
λ
+ становится первое
ограничение в (16), которое не было активным для рассматриваемого
решения .
x
Направление
2
1
1
z
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
является рецессивным. Для данного примера
множество рецессивных направлений включает все векторы
неотрицательного ортанта
2
R
+
. 
                              i ( x, z ) ∈ L( z ) I I 0 ( x).
Ограничение с номером i ( x, z ) является активным в исходной точке x .
    Если же
                            L( z ) I I 0 ( x) = 0,/
и справедливо условие (17), то
                            λ ( x, z ) > 0.
В этом случае
                            I 0 ( x) ⊂ I 0 ( x + λ ( x, z ) z ).
Активными для вектора x + λ ( x, z ) z будут не только ограничения с
номерами из I 0 ( x) , но и с другими (одним или больше) номерами. В
частности, активным становится ограничение с номером i ( x, z ) , не
входящее в I 0 ( x) .
    Если условие (17) не выполняется
                            L( z ) = 0, /                           (20)
то направление z называется рецессивным. При перемещении с любым,
сколь угодно большим шагом из точки x ∈ X по данному направлению z
будем оставаться в полиэдре X . Причем это свойство не зависит от
исходной точки x ∈ X . Тривиальным случаем рецессивных направлений
является также нулевой вектор.
    Задание 7.        Доказать, что множество рецессивных ненулевых
направлений для полиэдра X совпадает с затупленным (образованным
исключением нулевого вектора) конусом решений однородной системы
линейных неравенств, т.е. с множеством
                           W = W /{0}.
    Пример 2. На рис. 3 представлено множество решений системы
                                                   ⎡ 2⎤
линейных неравенств (16). Вектор x = ⎢ ⎥ является одним из решений
                                                   ⎣0.5⎦
                                        ⎡ −1⎤
данной системы. Для направления z = ⎢ ⎥ множество L( z ) не пусто, оно
                                        ⎣0⎦
состоит из номеров двух первых в (16) ограничений. В данном случае
λ ( x, z ) = 1.5 . Активным для вектора x + λ ( x, z1 ) z1 становится первое
ограничение в (16), которое не было активным для рассматриваемого
решения x.
                           ⎡1⎤
      Направление z 2 = ⎢ ⎥ является рецессивным. Для данного примера
                           ⎣1⎦
множество          рецессивных   направлений    включает       все   векторы
                               2
неотрицательного ортанта R+ .




                                    30

Страницы