Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 66 стр.

     Система (12), (13) имеет решение в том и только том случае, если
имеет решение система (6).
     Что дополнительного дает к системе (12), (13) система неравенств
(12), (14). Если система (12), (14) имеет решение, то возможны два случая.
Если для ее решения um+1 > 0 , то это будет решение рассмотренной выше
системы (12), (13), т.е. этот случай не вносит ничего нового.
     Если um+1 = 0 для решения системы (12), (14), то эта система
приобретает вид
                            AΤu = 0,        b Τu > 0 .               (15)
    Наличие решения у такой системы означает, что исходная система (2)
была несовместной, что противоречит условию теоремы.
    Теорема доказана.
    Замечание. В случае если система несовместна (множество решений
пусто), то любое неравенство можно считать следствием этой системы.
Поэтому, если не включать в формулировки теоремы условие
совместности системы (2), то в качестве критерия для доказательства
следствия из системы (2) неравенства (1) формально достаточно указать
решение либо системы (6), либо системы (15).
    Алгоритмически вопрос об избыточности условия (1) по отношению к
системе (2), очевидно, следует решать в два этапа. Сначала необходимо
определить, совместна ли система (2). Чтобы установить совместность
достаточно указать одно из решений данной системы. Чтобы установить
несовместность, достаточно указать одно из решений системы (15).
    Если система (2) совместна, то, для того чтобы убедиться в
избыточности условия (1), достаточно найти решение системы (6). Чтобы
убедиться в неизбыточности условия (1), т.е. в том, что оно не является
следствием системы (2), достаточно найти решение системы (8), (10).
     Наглядную иллюстрацию использования теоремы 2 дает следующий
пример.
     Пример. Докажем с помощью теоремы 2 (Минковского-Фаркаша),
что неравенство
                             − 5 x1 − 8 x2 − 11x3 − 14 x4 ≥ −9
является следствием следующей совместной системы неравенств:
                            − x1 − 2 x2 − 3 x3 − 4 x4 ≥ −3
                                                             .
                            − 2 x1 − 3 x2 − 4 x3 − 5 x4 ≥ −2
Согласно утверждению теоремы, этот факт имеет место, если
непротиворечива следующая система:




                                       66