Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

77
}0,0:{
~
>≤∈=
ΤΤ
vbvARvU
m
.
Множество
X
~
состоит из направлений неограниченного убывания
целевой функции задачи (1), не выводящих из области ее допустимых
решений.
Задание 2. Показать, что для X
x
∈
, X
s
~
∈
вектор
s
x
x
λ
λ
+=)( при
любом 0≥
λ
будет находиться в X и
−
∞→
Τ
)(
λ
xc
, если ∞→
λ
.
Множество
U
~
состоит из направлений неограниченного возрастания
целевой функции задачи (2), не выводящих из области ее допустимых
решений.
Задание 3. Продемонстрировать, что для
U
u
∈
,
U
~
∈ вектор
uu
λ
λ
+=)( при любом 0≥
λ
будет находиться в
U
и ∞→
Τ
)(
λ
ub, если
∞→
λ
.
Согласно теореме Фаркаша 3.15, системы неравенств, решения
которых образуют множества X и
U
~
, являются альтернативными.
Справедливо одно и только одно из двух
∅≠∅=∅=∅≠ UXUX
~
,либо,
~
,либо . (6)
Также альтернативными (по теореме 3.16 Гейла) являются системы
неравенств, решения которых образуют множества U и
X
%
. Справедливо
одно и только одно из двух
∅≠∅=∅=∅≠ XUXU
~
,либо,
~
,либо . (7)
Теорема 1. Для задач (1), (2) возможна одна из четырех ситуаций.
1. ,XU=∅ =∅. Тогда
,,XU
=
∅=∅
,.XU
≠
∅≠∅
%%
(8)
2. ,XU=∅ ≠∅. Тогда
,XU
=
∅=∅, целевая функция задачи (2) не
ограничена сверху на множестве допустимых решений этой задачи,
,XU
=
∅≠∅
%%
. (9)
3. ,XU≠∅ =∅. Тогда
,XU
=
∅=∅, целевая функция задачи (1) не
ограничена снизу на множестве допустимых решений этой задачи,
,XU
≠
∅=∅
%%
. (10)
4. ,XU≠∅ ≠∅. Тогда
,,XU
≠
∅≠∅
,.XU=∅ =∅
%%
(11)
Для любых ,
x
Xu U∈∈,
0),( ≥u
x
f
(12)
Для любых ,
x
Xu U∈∈ 
                         ~
                         U = {v ∈ R m : AΤ v ≤ 0, b Τ v > 0} .
                    ~
      Множество X состоит из направлений неограниченного убывания
целевой функции задачи (1), не выводящих из области ее допустимых
решений.
                                               ~
      Задание 2. Показать, что для x ∈ X , s ∈ X вектор x(λ ) = x + λs при
любом λ ≥ 0 будет находиться в X и c Τ x(λ ) → −∞ , если λ → ∞ .
                    ~
      Множество U состоит из направлений неограниченного возрастания
целевой функции задачи (2), не выводящих из области ее допустимых
решений.
                                                                 ~
      Задание 3. Продемонстрировать, что для u ∈U , v ∈ U вектор
u (λ ) = u + λv при любом λ ≥ 0 будет находиться в U и b Τu (λ ) → ∞ , если
λ →∞.
      Согласно теореме Фаркаша 3.15, системы неравенств, решения
                                          ~
которых образуют множества X и U , являются альтернативными.
Справедливо одно и только одно из двух
                                     ~                  ~
                         либо X ≠ ∅, U = ∅, либо X = ∅, U ≠ ∅ .         (6)
    Также альтернативными (по теореме 3.16 Гейла) являются системы
неравенств, решения которых образуют множества U и X% . Справедливо
одно и только одно из двух
                                    ~                  ~
                        либо U ≠ ∅, X = ∅, либо U = ∅, X ≠ ∅ .  (7)
    Теорема 1. Для задач (1), (2) возможна одна из четырех ситуаций.
    1. X = ∅, U = ∅ . Тогда X = ∅, U = ∅,
                            X% ≠ ∅, U% ≠ ∅.                          (8)
    2. X = ∅, U ≠ ∅ . Тогда X = ∅, U = ∅ , целевая функция задачи (2) не
    ограничена сверху на множестве допустимых решений этой задачи,
                            X% = ∅, U% ≠ ∅ .                        (9)
    3. X ≠ ∅, U = ∅ . Тогда X = ∅, U = ∅ , целевая функция задачи (1) не
    ограничена снизу на множестве допустимых решений этой задачи,
                             X% ≠ ∅, U% = ∅ .                       (10)
    4. X ≠ ∅, U ≠ ∅ . Тогда X ≠ ∅, U ≠ ∅,
                          X% = ∅, U% = ∅.                             (11)
Для любых x ∈ X , u ∈U ,
                               f ( x, u ) ≥ 0                         (12)

Для любых x ∈ X , u ∈U



                                          77

Страницы