Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

83
Согласно приведенной теореме, множество X не ограничено в том и
только том случае, если непусто множество )(
+
SJ . Множество U может
быть неограниченным в двух не взаимоисключающих случаях: во-первых,
если не пусто множество
)(
⊥
+
SJ
, во-вторых, если строки матрицы A
линейно зависимы.
Также на базе теорем об альтернативных линейных неравенствах
применительно к линейным подпространствам
}0,0:{ ==∈=
Τ
scAsRsS
n
и
{: , ,0}
nm
QqR vRqAvbv
Τ
Τ
=∈ ∃∈ = =
вытекает приводимое ниже утверждение относительно неограниченных
компонент векторов x и g(u) на множествах оптимальных решений задач
(1), (2).
Теорема 3. Пусть задачи (1), (2) имеют допустимые и,
следовательно, оптимальные решения. Тогда:
– если при
X
x
∈
компонента
j
x может неограниченно возрастать,
то 0)( =ug
j
при любом
U
u ∈ ;
– если при
Uu ∈ компонента )(ug
j
может неограниченно
возрастать, то 0=
j
x для любого X
x
∈
.
Предположим, имеем решение riX
x
∈
. Если 0
=
j
x , то при любом
допустимом решении задачи (1) эта компонента будет нулевой. Поэтому ее
можно исключить из рассмотрения. Если 0>
j
x для всех n
j
,...,1= при
данном X
x
∈ , то, согласно приведенной теореме, вектор )(u
g
будет
ограниченным при всех
Uu ∈ .
Пусть имеем решение ri
U
u
∈
. Если 0)(
=
ug
j
, то при любом другом
допустимом решении задачи (2) эта компонента вектор-функции )(u
g
будет нулевой и ее можно исключить из рассмотрения. Если 0)( >ug
j
для
всех n
j
...,,1= при некотором
U
u
∈
, то, согласно теореме 1, множество
оптимальных решений
X задачи (1) будет ограниченным.
5.4 Условия оптимальности для задачи минимизации выпуклой
дифференцируемой функции при линейных ограничениях
Теоремы об альтернативных системах линейных неравенств могут служить
основой вывода теории двойственности для более широкого класса задач
оптимизации. Непосредственным обобщением линейного 
     Согласно приведенной теореме, множество X не ограничено в том и
только том случае, если непусто множество J ( S + ) . Множество U может
быть неограниченным в двух не взаимоисключающих случаях: во-первых,
если не пусто множество J ( S +⊥ ) , во-вторых, если строки матрицы A
линейно зависимы.
     Также на базе теорем об альтернативных линейных неравенствах
применительно к линейным подпространствам
                          S = {s ∈ R n : As = 0, c Τ s = 0}
и
               Q = {q ∈ R n : ∃ v ∈ R m , q = AΤv, bΤv = 0}
вытекает приводимое ниже утверждение относительно неограниченных
компонент векторов x и g(u) на множествах оптимальных решений задач
(1), (2).
      Теорема 3. Пусть задачи (1), (2) имеют допустимые и,
следовательно, оптимальные решения. Тогда:
      – если при x ∈ X компонента x j может неограниченно возрастать,
то g j (u ) = 0 при любом u ∈ U ;
     – если при       u ∈U     компонента        g j (u )   может неограниченно
возрастать, то x j = 0 для любого x ∈ X .
    Предположим, имеем решение x ∈ riX . Если x j = 0 , то при любом
допустимом решении задачи (1) эта компонента будет нулевой. Поэтому ее
можно исключить из рассмотрения. Если x j > 0 для всех j = 1,..., n при
данном x ∈ X , то, согласно приведенной теореме, вектор g (u ) будет
ограниченным при всех u ∈ U .
    Пусть имеем решение u ∈ riU . Если g j (u ) = 0 , то при любом другом
допустимом решении задачи (2) эта компонента вектор-функции g (u )
будет нулевой и ее можно исключить из рассмотрения. Если g j (u ) > 0 для
всех j = 1, ..., n при некотором u ∈ U , то, согласно теореме 1, множество
оптимальных решений X задачи (1) будет ограниченным.

    5.4 Условия оптимальности для задачи минимизации выпуклой
       дифференцируемой функции при линейных ограничениях

Теоремы об альтернативных системах линейных неравенств могут служить
основой вывода теории двойственности для более широкого класса задач
оптимизации.      Непосредственным       обобщением        линейного


                                         83

Страницы