Теория алгоритмов. Зюзысов В.М. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим, как соотносятся неформальные доказательства и логический вывод
[27]. Логический вывод напоминает процесс мышления, но при этом мы не должны
равнять его правила с правилами человеческой мысли. Доказательство – это нечто
неформальное; иными словами – это продукт нормального мышления, записанный на
человеческом языке и предназначенный для человеческого потребления. В
доказательствах могут использоваться всевозможные
сложные мыслительные приемы, и
хотя интуитивно они могут казаться верными, можно усомниться в том, возможно ли
доказать их логически. Именно поэтому мы нуждаемся в формализации. Вывод – это
искусственное соответствие доказательства: его назначение – достичь той же цели, на этот
раз с помощью логической структуры, методы которой не только ясно выражены, но
и
очень просты.
Обычно формальный вывод бывает крайне длинен по сравнению с
соответствующей «естественной» мыслью. Это, конечно, плохо – но это та цена, которую
приходится платить за упрощение каждого шага. Часто бывает, что вывод и
доказательство «просты» в дополнении друг к другу. Доказательство просто в том смысле,
что каждый шаг «кажется правильным
», даже если мы и не знаем точно, почему;
логический вывод прост, потому что каждый из мириада её шагов так прост, что к нему
невозможно придраться и, поскольку весь вывод состоит из таких шагов, мы
предполагаем, что он безошибочен. Каждый тип простоты, однако, привносит свой тип
сложности. В случае доказательств, это
сложность системы, на которую они опираются –
а именно, человеческого языка; в случае логических выводов, это их астрономическая
длина, делающая их почти невозможными для понимания.
Таким образом, мы считаем логический вывод частью общего метода для
составления искусственных структур, подобных доказательствам. Однако он лишен
гибкости или всеобщности, поскольку предназначен только для работы с
математическими понятиями, которые, в свою очередь, жестко определены.
В качестве средства общения, открытия, фиксации материала никакой формальный
язык не способен конкурировать со смесью национального математического арго и
формул, привычной для каждого работающего математика.
Однако в силу своей жесткой нормализованности формальные тексты могут сами
служить объектом математического исследования. Метатеоремы вызывают значительный
интерес (и сильные эмоции), будучи интерпретированы расширительно (как теоремы о
математике). Но именно возможность таких и еще более расширительных толкований
определяет общефилософское и общегуманитарное значение математической логики.
Интерпретация
Формулы теории имеют смысл только тогда, когда имеется какая-нибудь
интерпретация входящих в них символов.
Если T – теория с языком первого порядка, то можно рассматривать различные
интерпретации этой теории. Чтобы определить интерпретацию, мы должны задать:
универсум M, называемый областью интерпретации; •
•
•
•
соответствие, относящее:
o каждому n-местному предикату некоторое
n-местное отношение в M,
o каждой функциональной букве, требующей n аргументов, – некоторую
функцию M
n
→ M и
o каждой константе – некоторый элемент из M;
предметные переменные мыслятся пробегающими область интерпретации M;
логическим связкам придается их обычный смысл.
Для заданной интерпретации всякая формула P без свободных переменных
представляет собой высказывание, которое истинно или ложно. Если высказывание
является истинным, то говорят, что формула P
выполняется в данной интерпретации.

Страницы