ВУЗ:
Составители:
Всякая формула со свободными переменными выражает некоторое отношение на
области интерпретации; это отношение может быть выполнено (истинно) для одних
значений переменных из области интерпретации и не выполнено (ложно) для других.
Формализация задается не только синтаксисом и семантикой формального языка
(эти компоненты как раз чаще всего берутся традиционными, из хорошо известного
крайне ограниченного набора), но и множеством утверждений, которые считаются
истинными. Именно эта формулировка базисных свойств, аксиом, описывающих
некоторую предметную область, обычно рассматривается как математическое описание
объектов. Таким образом, практически нас интересуют не все интерпретации данной
теории, а лишь те из них, на которых выполнены аксиомы.
Модели
• Интерпретация называется моделью множества формул Γ, если все формулы этого
множества выполняются в данной интерпретации.
• Моделью теории называется такая интерпретация, в которой истинны все теоремы
теории.
Общезначимость и непротиворечивость
• Формула P называется общезначимой, если она истинна в каждой интерпретации
(обозначается |= P).
• Формула P называется противоречием, если формула P ложна во всякой
интерпретации.
• Формула P называется логическим следствием множества формул Γ, если P
выполняется в любой модели Γ.
• Формула B является логическим следствием формулы A (обозначение: A ⇒ B), если
формула B выполнена в любой интерпретации, в которой выполнена формула A.
• Формулы A и B логически эквивалентны (обозначение: A=B), если они являются
логическим следствием друг друга.
• Формальная теория T называется семантически непротиворечивой, если ни одна ее
теорема не является противоречием.
Формальная теория пригодна для описания тех предметных областей, которые
являются ею моделями.
Справедлива метатеорема:
Модель для формальной теории T существует тогда и только тогда, когда T семантически
непротиворечива.
Обсудим подход к разрешению противоречий, принятый в математике [27].
Формальные системы, использующие логический вывод, не могут содержать
противоречий – противоречия мгновенно заражают всю систему, подобно глобальному
раку. Это не похоже на человеческую мысль. Если вы обнаружите в своих рассуждениях
противоречие, вряд ли это разрушит все здание вашего мышления. Вместо этого вы,
скорее всего
, попытаетесь найти те идеи или методы рассуждения, которые явились
причиной противоречия. Иными словами, вы попытаетесь, насколько это возможно,
выйти из ваших внутренних систем, приведших к противоречию, и попробуете их
исправить. Маловероятно, что вы поднимите руки вверх и воскликнете: «Это показывает,
что теперь я верю во все, что угодно!» – разве что
в шутку.
В действительности, противоречия – это важный источник прогресса во всех
областях жизни, и математика не является исключением. В прошлом, когда в математике
обнаруживалось противоречие, математики тут же пытались найти виновную в этом
систему, выйти из таковой, проанализировать её и, если возможно, залатать прореху.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
