ВУЗ:
Составители:
Таким образом, у нас выбор: 1) теория EA ω-противоречива или 2) EA ω-
непротиворечива (и, следовательно, просто непротиворечива), но существует истинная
формула, которую доказать нельзя. Второй вариант говорит, что теория EA неполна.
4
Почему этой теореме придается такое большое значение? Сначала введем
общепринятый термин. Замкнутую формулу F из языка теории T называют
неразрешимой в T, если ни F, ни ¬F нельзя доказать средствами T (F предсказывает
вполне определенное свойство «объектов» теории T, однако это предсказание нельзя
средствами T ни доказать, ни опровергнуть).
Не
следует, однако, думать, что нами доказана неполнота теории EA.
Неразрешимость средствами EA формулы G будет доказана только..., если удастся
доказать, что теория EA ω-непротиворечива (т.е. что в ней не могут возникать ω-
противоречия). До тех пор мы вправе утверждать только, что доказали несовершенство
аксиом EA – эти аксиомы либо
ω-противоречивы, либо с их помощью нельзя решить
некоторые проблемы, касающиеся натуральных чисел (одна такая проблема выражена в
формуле G – несмотря на все наши разговоры о том, что G «занимается» собственной
доказуемостью, G – замкнутая формула в языке EA и как таковая выражает вполне
определенное свойство натуральных чисел).
Несовершенную систему аксиом следует
совершенствовать. Может быть, мы
«забыли» какие-то важные аксиомы? Следует найти их, присоединить к аксиомам EA, и в
результате мы получим... совершенную систему?
К сожалению, рассуждения К. Гёделя проходят и для любого расширения EA.
Никакие новые аксиомы не могут привести к «совершенной» системе аксиом арифметики.
Метод Гёделя позволяет доказать принципиальное
несовершенство всякой системы аксиом
арифметики: каждая такая система неизбежно является либо ω-противоречивой, либо
недостаточной для решения некоторых проблем, касающихся свойств натуральных чисел.
Из теоремы Гёделя вытекает следующий интересный факт. Согласно закону
исключенного третьего, принятого в классической логике,
|– A∨¬A
для любой формулы A. Однако следует ли отсюда, что если
A – замкнутая формула, то
либо |– A, либо |– ¬A? Если взять формулу G, то из теоремы Геделя о неполноте следует,
что ни EA, ни какая-либо другая серьезная математическая теория этим идеальным
свойством обладать не могут – несмотря на постулирование закона исключенного
третьего в их аксиомах!
Мы сформулировали теорему Гёделя для теории
EA. Формальная арифметика EA
представляет простейший уровень математических рассуждений – в которых участвуют
только целые числа (и не участвуют произвольные действительные числа, не говоря уже о
произвольных множествах Кантора). Более сложные рассуждения формализуются и более
сложными (по сравнению с EA) формальными теориями. «Силу» этих более сложных
теорий составляет прежде всего их
способность обсуждать более сложные объекты
(действительные числа, функции действительных и комплексных переменных и т.д.),
которые недоступны в EA.
Каким образом выделить в некоторой формальной теории T ту ее часть, которая
относится к компетенции EA? Этот вопрос решается очень естественно с помощью так
называемых относительных интерпретаций. Чтобы воспроизвести в теории
T
арифметику, прежде всего какие-то объекты из области значений переменных T должны
быть объявлены натуральными числами. Это связано с выделением в языке T некоторой
4
Это очень близко к парадоеку лжеца, в котором мы встречаем предложение, выражающее свою
собственную ложность. Но теперь из-за сделанной Гёделем замены «ложности» на недоказуемость
появляется выход. Все доказуемые в EA формулы истинны (мы верим, что это так). Тогда, если бы все
истинные формулы были доказуемы, получилось бы, что «ложно =
недоказуемо», и возник бы парадокс
лжеца. Выход состоит теперь в том, что не всн истинные формулы доказуемы.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- …
- следующая ›
- последняя »
