Теория алгоритмов. Зюзысов В.М. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Проблема с подходом Саккери к геометрии (при доказательстве постулата о
параллельных) заключалась в том, что, что он основывался на жестком понятии о том, что
истинно и что ложно; он хотел доказать только то, что он считал истинным с самого
начала. Рассмотрим беспристрастно, что означает добавление к системе EA новой
аксиомы
¬G.
Подумаем только, на что была бы похожа современная математика, если бы люди
не решили в свое время добавить к ней аксиом типа:
∃a(a+a=1) (рациональные числа);
∃a(Sa=0) (отрицательные числа);
∃a(a×a=2) (иррациональные числа);
∃a(S(a×a)=0) (мнимые числа).
Хотя
каждое из этих утверждений «противно природе ранее известных числовых систем»,
каждое из них в то же время означает значительное и замечательное расширение понятия
целых чисел. ¬G пытается открыть нам глаза на такую возможность. В прошлом каждое
новое расширение системы натуральных чисел встречалось в штыки. Это заметно по
названиям: «иррациональные», «мнимые». Оставаясь верными традиции, давайте назовем
числа, которые порождает ¬G, супернатуральными, поскольку они противоречат всем
понятиям разума и здравого смысла.
Если мы собираемся добавить ¬G в качестве новой аксиомы EA, мы должны
постараться понять, каким образом эта строчка может существовать с ω-противоречием.
Ведь ¬G утверждает, «что выполнено |– ∃yProve(
y, g(G))». При этом члены
пирамидальной семьи с успехом утверждают, что
|– ¬Prove(0, g(G))
|– ¬Prove(1, g(G))
|– ¬Prove(2, g(G))
|– ¬Prove(3, g(G))
…
Это сбивает с толку, поскольку кажется совершеннейшим противоречием. Наша
проблема заключается в том, что, так же как и
в случае с расширенной геометрией, мы
упрямо отказываемся модифицировать интерпретацию символов, несмотря на то, что
прекрасно понимаем, что имеем дело с модифицированной системой. Мы хотим обойтись
без добавления хотя бы одного символа – что, разумеется, оказывается невозможным.
Проблема разрешается, если мы интерпретируем ∃ как «существует некое
обобщенное натуральное число» вместо «существует некое
натуральное число».
Одновременно с этим нам потребуется соответствующим образом изменить
интерпретацию ∀. Это означает, что, кроме натуральных, мы открываем дверь для неких
новых чисел. Это супернатуральные числа. Натуральные и супернатуральные числа
вместе составляют обобщенные натуральные числа.
Кажущее противоречие теперь испаряется, поскольку пирамидальная семья все еще
утверждает, «что никакое натуральное число
не является номером доказательства G».
Строчки этой семьи ничего не упоминают о супернатуральных числах, поскольку для них
не существует символов. С другой стороны, ¬G утверждает, что существует такое
обобщенное натуральное число, которое является номером доказательства G.
Противоречия больше нет. EA+¬G превращается в непротиворечивую систему, если её
интерпретация включает супернатуральные
числа.
Об аксиоматизации
Теорема К. Гёделя о неполноте породила множество рассуждений о том, что
аксиоматический метод недостаточен для реконструкции «живого, содержательного»
математического мышления. Аксиоматику сравнивали с прокрустовым ложем, которое не
в состоянии вместить все богатство содержательной математики. Но разве могут в

Страницы