Математическое моделирование в социологии. Абзалилов Д.Ф. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Новая матрица Y связана с X соотношением
Y = XP, (6.1)
где P – матрица проектирования. Эта формула похожа на формулу
(3.1) преобраз о вания координат при повороте, отличие заключается
лишь в том, что матрица T поворота является квадратной (n × n), а
матрица P проектирования имеет размерность n × r.
Эта матрица обладает свойством P
T
P = E, но она не будет яв-
ляться ортогональной, так как она не квадратная и P P
T
6= E.
Для случая проектирования из плоскости на прямую, матрица P
имеет вид
P =
cos α
sin α
!
,
то есть представляет собой первый столбец матрицы T поворота (фор-
мула (3.2)).
6.3. Сингулярное разложение. Пусть A – про из вольная мат-
рица размерности m ×n. Она может быть представлена в виде произ-
ведения тр ех матриц (или так на зываемого сингулярного разложения
матрицы A)
A = USV
T
,
где U и V – ортогон альные матрицы размерностей m × m и n × n,
составленные из столбцов собственны х векторов матриц AA
T
и A
T
A
соответственн о . Матрица S размерности m × n – прямоугольная диа-
гональная матрица, диагональ которой содержит числа
√
λ
k
– квадрат-
ные корни из собственных значений матрицы AA
T
или A
T
A. Обычно
числа на диа гонали S располагают в порядке невозра стания. Матрицы
31
    Новая матрица Y связана с X соотношением

      Y = XP,                                                   (6.1)

где P – матрица проектирования. Эта формула похожа на формулу
(3.1) преобразования координат при повороте, отличие заключается
лишь в том, что матрица T поворота является квадратной (n × n), а
матрица P проектирования имеет размерность n × r.
    Эта матрица обладает свойством P T P = E, но она не будет яв-
ляться ортогональной, так как она не квадратная и P P T 6= E.
    Для случая проектирования из плоскости на прямую, матрица P
имеет вид
                       !
               cos α
      P =                  ,
               sin α

то есть представляет собой первый столбец матрицы T поворота (фор-
мула (3.2)).
    6.3. Сингулярное разложение. Пусть A – произвольная мат-
рица размерности m × n. Она может быть представлена в виде произ-
ведения трех матриц (или так называемого сингулярного разложения
матрицы A)

      A = U SV T ,

где U и V – ортогональные матрицы размерностей m × m и n × n,
составленные из столбцов собственных векторов матриц AAT и AT A
соответственно. Матрица S размерности m × n – прямоугольная диа-
                                                   √
гональная матрица, диагональ которой содержит числа λk – квадрат-
ные корни из собственных значений матрицы AAT или AT A. Обычно
числа на диагонали S располагают в порядке невозрастания. Матрицы


                                 31

Страницы