Математическое моделирование в социологии. Абзалилов Д.Ф. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

системы, состоящей из двух видов. Первый вид назовем “хищниками”,
основным средством существования которого является охота на второ й
вид, который мы назовем “жертвами”. Рассмотрим модель измене ния
численности популяции этих двух видов с течением времени. Пусть x(t)
– функция, описывающая изменение с течением времени численности
“жертв”, y(t) – численности “хищников”.
Будем считать, что прирост численности “жертв” в отсутствии
“хищников” пропорционален численности самой популяции (x
′
= kx).
Также, убыль численности “хищников” в отсутствие “жертв” также про-
порционален их численности (y
′
= −ℓy). Убыль численности “жертв”
и рост численно сти “хищников” пропорционален числу встреч “хищни-
ков” и “жертв”, которое, в свою очередь п ропорциональна произведе -
нию xy. Таким образом, раз витие системы “хищник–жертва” описыва-
ется системой дифференциальных уравнений
x
′
= kx − axy,
y
′
= −ℓy + bxy,
(8.4)
где k, ℓ, a, b – некоторые положительные постоян ные.
Для полного описания этой системы необходимо задать начальные
условие, пусть в начальн ы й момент t = 0 численность п опуляций
x(0) = x
0
,
y(0) = y
0
.
Совокупность системы дифференциальных уравнений вместе с нача ль-
ными условиям также назы вается задаче й Коши для системы диффе-
ренциальных уравнений.
Заметим, что наша система (8.4) является ав тон омной. Найдем ее
44
системы, состоящей из двух видов. Первый вид назовем “хищниками”,
основным средством существования которого является охота на второй
вид, который мы назовем “жертвами”. Рассмотрим модель изменения
численности популяции этих двух видов с течением времени. Пусть x(t)
– функция, описывающая изменение с течением времени численности
“жертв”, y(t) – численности “хищников”.
    Будем считать, что прирост численности “жертв” в отсутствии
“хищников” пропорционален численности самой популяции (x′ = kx).
Также, убыль численности “хищников” в отсутствие “жертв” также про-
порционален их численности (y ′ = −ℓy). Убыль численности “жертв”
и рост численности “хищников” пропорционален числу встреч “хищни-
ков” и “жертв”, которое, в свою очередь пропорциональна произведе-
нию xy. Таким образом, развитие системы “хищник–жертва” описыва-
ется системой дифференциальных уравнений
      
      
      x′ = kx − axy,
                                                                (8.4)
     
     y ′ = −ℓy + bxy,

где k, ℓ, a, b – некоторые положительные постоянные.
    Для полного описания этой системы необходимо задать начальные
условие, пусть в начальный момент t = 0 численность популяций
     
     
     x(0) = x0,
     
     y(0) = y0 .

Совокупность системы дифференциальных уравнений вместе с началь-
ными условиям также называется задачей Коши для системы диффе-
ренциальных уравнений.
    Заметим, что наша система (8.4) является автономной. Найдем ее


                                 44

Страницы